20.(13分)设函数f(x)=sin-2cos2x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称.求当x∈[0,1]时,函数y=g(x)的最大值.
21.(14分)在海岛A上有一座海拔1 km的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度;
(2)经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远? ## 参考答案
一、选择题
1.B 解析:∵tan α=,
∴sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1, ∴sin α=±. 又∵α是第一象限角, ∴sin α=.故选B.
2.B 解析:∵|OP|=,且cos α==-, ∴m>0且=,∴m=.
3.B 解析:由题意,结合图象知函数周期T=32=, ∴ω==2.
由23+φ=π,得φ=. ∴f(x)=Atan.
把点(0,1)代入上式,得1=Atan, ∴A=1,即f(x)=tan. 故f=tan =tan=.选B.
4.B 解析:∵该函数的一条对称轴方程为x=,
∴f(0)=f(π),即sin-asin=-sin+asin,解得a=.故选B. 5.B 解析:由已知得y=cos 2=cos=sin 2x,因此函数y=1-2sin2
是最小正周期为π的奇函数.故选B.
6.A 解析:依题意,y=f(x)的最小正周期为π,故ω=2, 因为y=cos=sin=sin =sin,
所以把y=sin 2x的图象向左平移个单位即可得到y=cos的图象.故选A.
7.A 解析:由-≤x≤π得,-≤2x-≤,故当2x-=-或,即x=-或时函数取得最小值;当2x-=0,即x=时y=0;当2x-=,即x=时函数取得最大值.结合图象可知A满足以上条件.
8.D 解析:y=sin(ωx+φ)向左平移个单位长度 y=sin, ∴T==34,ω=2,
当x=π时,2+φ=2kπ+π,k∈Z, ∴φ=2kπ-(k∈Z),∵|φ|<, ∴φ=-.
9.D 解析:选项A,根据T==π,不论φ取何值,函数f(x)的周期都是π;选项B,当φ=kπ(k∈Z)时,函数f(x)是偶函数;选项C,当x∈时,2x+φ∈[2π,3π],y=cos(2x+φ)为减函数;选项D,y=cos 2x的图象向右平移φ个单位得到y=cos(2x-2φ)的图象,D错.
10.A 解析:根据正弦定理sin A=,sin B=,sin C=,由cos∶sin B∶cos=3∶2∶4,
可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶2∶4,∴cos C=-.故选A.
二、填空题
11. 解析:∵cos α=且α在第一象限,∴sin α=.原式= =
==2(cos α+sin α) =2=.
12.-2 解析:原式 =2
= ==-2.
13. 解析:由sin A+cos A=1, 得2sin=1,A=π, 由=,得sin C===,C=. 则B=,S=AB3BCsin B=(cm2).
14.40 解析:如图,设电视塔AB高为x m,
则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x. 在Rt△ADB中,∠ADB=30°, ∴BD=x.
在△BDC中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC2CD2cos 120°,
即(x)2=x2+402-22x2402cos 120°,解得x=40, ∴电视塔高为40 m.
15.①② 解析:f(x)-g(x)=sin x-cos x=sin≤, 故①正确;当x∈时,x+∈,
函数f[h(x)]=sin为增函数,故②正确;函数g[f(x)]=cos(sin x)的最小正周期为π,故③错误;将f(x)的图象向左平移个单位可得g(x)的图象,故④错误.
三、解答题