16.解:∵f(x)=2cos x2sin- =2cos x2- =sin 2x+cos2x- =sin 2x+2- =sin 2x+cos 2x =sin, ∴T=π. 列表 x=- t=2x+ sin t
- 0 0 1 π 0 π π -1 π 2π 0
17.解:(1)由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD, 得+=, 解得H===124.
因此,算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d=AB,得tan α=.
由AB=AD-BD=-, 得tan β=. 所以tan(α-β)= =≤,
当且仅当d=,即d===55时,上式取等号,所以当d=55时,tan(α-β)最大.
因为0<β<α<,则0<α-β<, 所以当d=55时,α-β最大. 故所求的d是55 m. 18.解:(1)∵<α<π,0<β<, ∴<α-<π,-<-β<. 所以sin==, cos==,∴cos =cos
=coscos+sinsin=, ∴cos(α+β)=2cos2-1=-. (2)由已知可得tan α=+m,① tan β=-tan αtan β-m,②
∴①+②可得tan α+tan β=(1-tan αtan β), ∴=tan(α+β)=, 又∵0<α<,0<β<. ∴0<α+β<π,∴α+β=.
19.解:(1)由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, ∴sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B. 可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, ∴sin(B+C)=3sin Acos B.可得sin A=3sin Acos B. 又sin A≠0,∴cos B=.
(2)由2=2,得accos B=2,可得ac=6. 由b2=a2+c2-2accos B, 可得a2+c2=12,
∴(a-c)2=0,得a=c,∴a=c=. 20.解:(1)∵f(x)=sinx- cosx-1=sin-1,
∴T==6,由-+2kπ≤x- ≤+2kπ,k∈Z,
得-+6k≤x≤+6k,k∈Z.
所以函数f(x)的最小正周期为6, 单调递增区间为[-+6k,+6k],k∈Z.
(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴当x∈[0,1]时,函数y=g(x)的最大值即为x∈[3,4]时y=f(x)的最大值,
此时x-∈,sin∈,f(x)∈,即此时函数y=g(x)的最大值为. 21.解:(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1, ∴AB=(千米).
在Rt△PAC中,∠APC=30°,
∴AC=(千米).
在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°, ∴BC= ==(千米),
所求速度为:÷=2(千米/时). (2)∠DAC=90°-60°=30°,
sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===, sin∠CDA=sin(∠ACB-30°)
=sin∠ACB2cos 30°-cos∠ACB2sin 30° =3-3=,
在△ACD中,由正弦定理得 =, ∴AD= ==(千米),
答:此时船距岛A千米.