第三章 随机变量与分布函数
1、 解：令?n表在n次移动中向右移动的次数，则?n服从二项分布，
kkP{?n?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?n
以Sn表时刻时质点的位置，则
Sn??n?(n??n)?2?n?n。
?n的分布列为
?0??(1?p)n?11Cnp(1?p)n?1?n?21Cnp(1?p)n?12?22Cnp(1?p)n?2??n?4?22Cnp(1?p)n?2?
2、 解：P{??1}?P{失成}?P{成失}?pq?qp，
n??。 pn??n??。 pn??Sn的分布列为
??n??(1?p)n?P{??2}?P{失失成}?P{成成失}?ppq?qqp?p2q?q2p,?
所以?的概率分布为
p{?k}?pkq?q2p,k?1,2,?。
3、 解： （1）1??f(k)?k?1Nc?N， ?c?1。 N?1 （2）1?c?k!?c(e??1)， ?c?(e??1)k?1??k。
4、 证：f(x)?0，且
??f(x)是一个密度函数。
???f(x)dx????1?|x|edx??e?|x|dx??e?x
0??2???5、 解：（1）P(6???9)?P?(6?10)?11?1?(??10)?(9?10)? 22?2?11???1??P??1?(??10)????????(?2)?0.285788
22???2?11?1?（2）P(7???12)?P?(7?10)?(??10)?(12?10)?
22?2?1?11??P??1?(??10)?1????1???(?1)?0.774538
2?22?11?1?（3）P(13???15)?P?(13?10)?(??10)?(15?10)?
22?2?1?1?11?1? ?P?1?(??10)?2????2???(1)?0.06059 722222???? 1
6、 解：7+24+38+24+7=100，P{??x4}?(100?7)/100?0.93，P{??x3}?
P{??x3}?(7?24?38)/100?0.69，查表得?(1.5)?0.93,?(0.5)?0.69。由题设得
1?1??(x)?P?(??60)?(y?60)?x??P{??y}
3?3?令x?1(y?60)?1.5，解得y?64.5，即x4?64.5。由对称性得x1? 60?(64.5?60)?55.5。3再令(y?60)?0.5，解得y?61.5，即x3?61.5。由对称性得x2?60?(61.5?60)?58.5。 7、 解：（1）?(1.3)?0.90，而P{??a}?P?(??5)?13?1?21??1?(a?5)????(a?5)?，令2??2?1(a?5)?1.3解得a?7.6。 2（2）由P{|??5|?a}?0.01得P{??5?a}?0.005，从而P?(??5)??1?21?a? =0.995，而2?1?(2.6)?0.995所以a?2.6,a?5.2。
28、 证：（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，F(x)非降。
（2）设x???xn?xn?1???x1?x0，x1?x由概率的可加性得
???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0???F(x)?F(x)??F(xii?1?0)?F(x)。
由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，
n??i?0?F(x)?limF(xn)?F(x?0),F(x)右连续。
n??（3）1?P{??????}?n????P{n???n?1}
n????x???x????F(n?1)?F(n)??limF(n)?n??m???limF(m)。
由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得F(??)?0,F(?)?1。 9、 证：P{x1???x2}?P{??x2}?P{??x1}?P{??x2}?(1?P{??x2})
?P{??x2}?P{??x1}?1?(1??)?(1??)?1?1?(???).
∴不等式成立。
?0,?10、证法一：定义F(x)??P{0???x},?1,?x?(??,0]x?(0,1]则F(x)是?的分布函数。由题设得，对任意x?(1,?)2x?[0,1]有P{0???x}?P{x???2x}，即有P{0???2x}?2P{0???x}。由此得
2
1xF(2x)?2F(x)。逐一类推可得，若nx?[0,1]，则F(nx)?nF(x)，或者F(x)?F()。从而对
nnmm?m?m有理数，若x与x都属于[0,1]，则有F?x??F(x)。再由F(x)的左连续性可得，对任意无
nn?n?n理数a，若ax与x都属于[0,1]，则F(ax)?aF(x)。
因为区间[0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得
F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.
由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为
?0,x?0?F(x)??x,0?x?1
?1,x?1?∴ ?服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得
F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}
?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)
等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度为0，由题设得
P{??0}?P{??1}?0。由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。
至此得证?服从[0,1]均匀分布。
?(x?m)2?111、证：（1）f?(x)?exp??? 22?2?????(x?m)2??11?2?exp??(x?m)?ln?exp??ln??ln2???? 0222?2?2??????
若令Q(?)??12,T(x)?(x?m),D(?_??ln?， S(x)??ln2?，则有 02(2)f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}
2??(x?m)??exp??? 2??2?2??00??2这就证明了正态分布M(m0,?)是单参数?(??0)的指数族。
（2）fm(x)?1??x2?2mx?m2?m2x21??mx??exp???ln?exp???? ?2222?2??2?2?2??2??0??000??0?1?m2mx212,T(x)?x,D(m)?,S(x)??ln若令Q(m)?，则 222?0?02?02??01fm(x)?exp{Q(m)T(x)?D(m)?S(x)}
3
所以正态分布N(m,?0)是单参数m(???m??)的指数族。 （3）p(k;?)?2?kk!若令Q(?)?ln?,T(k)?k,D(?)???,S(k)??lnk!，则p(k;?)?exp{Q(?)T(k)?D(?)?S(k)}，所以p(k;?)是单参数?(??0)的指数族。
?1/?,0?x??（4）关于[0,?]上的均匀分布，其密度函数为f?(x)??
0,x??或x?0?f?(x)是定义在???x??的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式 f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}，故f?(x)关于?不是一个单参数的指数族。
12、证：分别对固定的x0和y0有
e???exp{kln????lnk!}。
?1,F(x0,y)???0,y??x0,y??x0?1,x??x0F(x,y0)???0,x??y0。
由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即F(??,y)?0,，
F(x,??)?0,F(??,??)?1但有
F(1,1)?F(1,0)?F(0,1)?F(0,0)??1,
这说明当取a1?a2?0,b1?b2?1时(2.5)式不成立。所以F(x,y)不是分布函数。
13、证：必要性：
??f(x,y)dxdy???ke令u?x?b?a(x?y)2a?e?ac?b2yadxdy
bby,v?y，得y?v,x?u?v,J?1。设 aa?? 可得
f(x,y)dxdy??ke?audu?e?????2??ac?b22vadv
要积分收敛，必须a?0,(ac?b)/a?0，由此得应有ac?b?0以及c?0。利用
ac?b22va22????e?udu??2?∴ k????ke?audu2????e?dv?k?1a??aac?b2??1
ac?b2?
从而题中所列条件全部满足。
以上诸步可逆推，充分性显然。
14、解：设f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)?0得h(x,y)??f1(x)f2(y)。又
1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy，
所以应有
??h(x,y)dxdy?0。
??h(x,y)dxdy?0，显然有f(x,y)?0且
反之，若h(x,y)??f1(x)f2(y)，h(x,y)可积且
4
??f(x,y)dxdy?1，即f(x,y)是密度函数。
所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)??f1(x)f2(y)且
??h(x,y)dxdy?0。
15、解：（1）1???0Ae?2xdx??0?1?e?ydy?A??e?2x??2?10???e?y|?0?0??A,A?2 2（2）P???2,??1???202e?2x2?4?e?y|11?e?1)。 dx?e?ydy??e?2x|00?(1?e)(????（3）?的边际分布，当x?0时f?(x)?0，当x?0时有
f?(x)??2e?2xe?ydy?2e?2x.
0?（4）P?????2???2022e?2xdx?2?x0e?ydy
20??2e?2x(1?e?(2?x)dx?(2e?2x?2e?(2?x)dx
0?(1?e?4)?(2e?4?2e?2)?1?e?4?2e?2?(1?e?2)2.
（5）当x?0,y?0时f(x|y)?0；当x?0,y?0时有
f(x,y)2e?(2x?y)?2x. f(x|y)???2e?yf?(y)e（6）P{??1}??10dy?2e?(2x?y)dx??e?ydy?2e?(2x?y)dx??e?y000?1?10?1?e?1,
利用（2）的结果可得
P???2,??1?(1?e?4)(1?e?1)?4?1?e. P???2,??1????1P???1?1?e16、解：作变换，令x?a??cos?,y?b??sin?，则|J|??椭圆区域为
?cos2?2rsin?cos?sin2????2????2 2??1?2?2???1cos2?2rsin?cos?sin2?记 ???s2 222?1?1?2?2
则???/s，且
P{(?,?)?D(?)}?12??1?21?r12??1?21?r22??d??se002x02x??12(1?r2)?2S2?d?
?2?2??(1?r2)?2(1?r2)??eS2S2Sd?
0???2?1?1?r?2(1?r2)???1?ed?
??0S22??1?2???2 5