当???时，P{(?,?)?D(?)}?1，由此得17、证：设多项分布为
?2?02??1?21。 d??22S1?rn!p1k1?p1kr， （1）
k1!?kr!P{?1?k1,?,?r?kr}?ki?0,利用（2）可以把（1）改写成 P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}?
?ki?1ri?n,?pi?1ri?1。 （2）
?n!p1k1?p1kr?(1?p1???pr?1)n?k1???kr?1 （3）
k1!?kr?1!(n?k1???kr?1)!由边际分布的定义并把（3）代入得
P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}??kr?1P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}
k1???kr?1?n,kr?1?0
n?k1??kr?2r?2n!p1k1?prk?(n?k1???kr?2)!2r?1???prk?1? k1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!kr?1?0kr?1!(n?k1???kr?1)! ?(1?p1???pr?2pr?1)由二项式定理得
n?k1???kr?1
P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}?n!n?k1???k2r?2 （4） ?p1k1?prk?2?(1?p1???pr?2)k1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得
P{?1?k1}?n!p1k1(1?p1)n?k1
k1!(n?k1)!从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。 18、解：（1）?的密度函数为，当x?0时p?(x)?0；当x?0时，注意积分取胜有选取，得
p?(x)?????p(x,y)dy???x1?xk1?1(y?x)k2?1??ydy(令y?x?1)
?(k1)?(k2)?xk1?1xk1?1?xk2?1?x?t ?teedt?e. ?0?(k1)?(2)?(k1)
（2）?的密度函数为，当y?0时p?(y)?0；当y?0时，
1?xk1?1(y?x)k2?1??ydx??x?(k)?(k)12令x?yt，当x?0时t?0，当x?y时t?1，所以
p?(y)???p(x,y)dx??y
1e?yk1?1k2?1p?(y)?yy??tk1?1(1?t)k2?1ydt
0?(k1)?(k2) 6
yk1?k2?1e?yyk1?k2?1e?y?(k1)?(k2) ??B(k1,k2)???(k1)?(k2)?(k1)?(k2)?(k1?k2)
1yk1?k2?1e?y
?(k1?k2)
其中用到??函数与??函数的关系式。 19、证：我们有
0?Fi(xi)?1,1?2fi(xi)?1?2?1?1, ?1?[2F1(x1)?1][2F2(x2)?1][2F3(x3)?1]?1,
代入f?(x1,x2,x3)的表达式得 f?(x1,x2,x3)?0 (1) 又有
2??F(xi)?Fi(xi)??0 ????2F(x)?1f(x)dx?2F(x)?1dF(x)1iiiiiiiii???????????????f?(x1,x2,x3)dx1dx2dx3?????f1(x1)dx1????f2(x2)dx2????f3(x3)dx3?1 (2)
由（1），（2）知f?(x1,x2,x3)是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
????f?(x1,x2,x3)dx2dx3?f1(x1), ???f?(x1,x2,x3)dx1dx2?f3(x3)
???f?(x,x12,x3)dx1dx3?f2(x2).
20、解：
（1）为求(?,?)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k?1)其中利用到独立性。
（a）i?k
?k?kP{??k,??k}?P??(??k,??j)???P{??k,??j}
?j?1?j?1kk2k?j?22k?11?q ??pq?pq??pqk?1(1?qk)；
1?qj?1(b)i?k
P{??k,??i}?P{??i,??k}?p2q1?k?2；
(c)i?k
{??k,??i}??,P{??k,??i}?0
?,?)，所以 (2)因为?max({??k}??{??i,??k}??{??k,??j}
i?1j?1k?1kP{??k}??P{??i,??k}??P{??k,??j}??pq2i?1j?1i?1k?1kk?11?k?2??p2qk?j?2
j?1k ?pq2k?1?1?qk?11?qk?k?1kk?1????(2?q?q)pq (k?1,2,?) 1?q??1?q 7
（3）P{??i|??k}?P{??i,??k}
P{??k}?pqk?1(1?qk)1?qkk?q,i?k?k?1k?1k?pq(2?qq)2?q??1??21?k?2i?1pqpq??qk,i?kk?1k?1k??pq(2?qq)2?q??1i?k,(i,k?1)
21、解：（1）边际分布的密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时，
f?(x)?????f(x,y)dy??4xydy?2x
01同理，当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时f?(y)?2y。f(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?独立。
（2）边际密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时
f?(x)??f?(y)?????1???f(x,y)dy??8xydy?4x(1?x2)
01当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时
g(x,y)dx??8xydx?4y2
0在区域0?y?1中均有g(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?不独立。 22、证：当0?x?2?,0?y?2?时 ，?与?的联合分布密度为
11?z???sinxsiny(?cosz)?； p??(x,y)??32??08?3(1?sinxsinysinz)dz8?4???0其余p??(x,y)?0。当0?x?2?时，
2?2?p??(x)??2?0dy?2018?3(1?sinxsinysinz)dz?1； 2?其余p?(x)?0。由于?,?,?三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当
20?x?2?,0?z?2?时，p??(x,z)?1/4?2；当0?y?2?,0?z?2?时，p??(y,z)?1/4?；
当0?y?2?时，p?(z)?1/2?；当0?z?2?时，p?(z)?1/2?；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于
p??(x,y)?p?(x)p?(y), p??(x,z)?p?(x)p?(z),p??(y,z)?p?(y)p?(z),故?,?,?两两独
立；但当0?x?2?,0?y?2?,0?z?2?时有p(x,y,z)?p?(x)p?(y)p?(z)，故?,?,?不相互独立。
23、证：当|x|?1时，
p?(x)?????p(x,y)dy??1?xy1dy?，
?1421
其余p?(x)?0。同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0当0?|x|?1, 0?y?1时有
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。
222现试能动分布函数来证?与?独立。?的分布函数记为F1(x)，则当0?x?1时，
8
F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}??同理可求得?2的分布函数F2(y)，得
x?x1dx?x； 2x?0?0,?F1(x)??x,0?x?1?1,x?1,?
y?0?0,?F2(y)??y,0?y?1
?1,y?1,?(?2,?2)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0?x?1,y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x
同理得当0?y?1,x?1时F3(x,y)?y；当0?x?1,0?y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}
xy1?stds?dt?xy =??x?y4x?0或y?0?0,?x,0?x?1,y?1??合起来写得 F2(x,y)??y,0?y?1,x?1
?xy,0?x?1,0?y?1??x?1,y?1?1,不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?与?独立。 24、证：（1）由褶积公式及独立性得
22P{?1??2?k}??P{?1?i,?2?k?i}??P{?1?i}P{?2?k?i}
i?0i?0kk??i?0ki?1i!e??1?e(k?i)!?1?k2??21?(?1??2)kk!ik?1?e?1?2 ?k!i!(k?1)!i?0(?1??2)k?(?1??2)?e k?0,1,2,?
k!这就证明了?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2
P{?1?k,?1??2?n}（2）P{?1?k|?1??2?n}?
P{?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}P{?1?k}P{?2?n?k} ? ?P{?1??2?n}P{?1??2?n}?k?1k!e??1??k?n2(n?k)!ke??2(?1??2)n?(?1??2) ?en!n?k?n???1?????????k???1??2?25、证：由题设得
??2????????2??1证毕。
P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})? 9
11111????， 22222P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})?11111????。 22222P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])
1?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}??P{??1}P{??1}，
4P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])
1?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}??P{??1}P{???1}，
4同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，P{???1,???1}?P{???1}P{???1}. 所以?与?相互独立。用同样的方法可片?与?也相互独立。但
P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{???1,???1}])，
1P{??1}P{??1}P{??1}?，
8所以?,?,?只两两独立而不相互独立。
26、解：P{??k}??kk!e??,k?0,1,2?，
由此得（1）P{??ak?b}? （2）P{??k}?2?kk!e??,k?0,1,2?，
k?0,1,2?。
k!27、解：（1）由P{??0}?0知，?以概率1取有限值。当y?0时，
0??1??1?F?(y)?P??y??P{??0}?P??????p(x)dx??1p(x)dx；
??y?????y?ke??,当y?0时，
0?1??1?F?(y)?P??y??P????0???1p(x)dx；
????y?y当y?0时，
F?(y)??0??p(x)dx。
?k??arctgy????（2）F?(y)?P{tg??y}?P?p(x)dx ??{k??2???k??arctgy})?? ???k???k????k????2（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，
F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???28、解：设直径为随机变量d，则
y?yp(x)dx。
?1,a?x?b?pd(x)??(b?a)。
?其它?0,121212圆面积S??d。当?a?y??b时，
444 10