U~N(0,2(1?r)?2),V~N(0,2(1?r)?2)。
41、解：（1）因为指数中二次项x2,y2,xy的系数分别为?1,?比较知，可设其配方后的形式为
1,?1，所以与(2.22)式（见上题解答）21?1?(x?s)2?(y?t)2?1?(x?s)(y?t)。
2??2s?t?11??比较系数得 ? ?s?t?7??s2?1t2?st?321?22?此方程组有唯一解s??4,t??3，由此得
??11??exp???x?4)2?(y?3)2?(x?4)(y?3)?? 2?2??????2??11(y?3)1(x?4)(y?3)????2exp??(x?4)??2? ???? 12121?2???2(1?)?2??1?21???2??21（2）与（2.22）式比较得，a?4,b?3,?1?1,?2?2,r??。
2?(x?4)2??(y?3)2?11（3） p1(x)?exp??exp???， p2(y)??。
242?2?????p(x,y)?
2???p(x,y)11111???????1（4）p(x|y)??exp???x???y?5???，它服从N??y?5,?。
22?p2(y)2?????2????2?1142、解：|B?1|?27,|B|?. ??1|B|27
p(x,y,z)?(2?)11n2|B|12?1?exp??(x?a)B?1(x?a)??
?2??1n? ?exp?r(x?a)(x?a)??jk11kk? 11n?2j,k?1?(2?)2|B|21?1?222exp?(7x?4y?2z?6xy?4xz?2yz) ???. 321??(2?)227(?1,?2)的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
1 16
p(x,y)?????p(x,y,z)dz?(2?)132127e11?(5x2?3y2?4xy)22????e1?(z?x?y)22dz
?21y?t，利用?e?tdt??得
??2361?1?p(x,y)?exp??(5x2?4xy?3y2)?。
4?2?2?43、证：以f记?的密度函数，则(?,?)的联合密度为f(x0f(y)。作变换，令s?x?y，t?x?y111得x?(s?t),y?(s?t),|J|?。若改记s为x，t为y，则由此可得(???,???)的联合密
2221?1??1?度为f?(x?y)?f?(x?y)?。另一方面，由卷积公式得???和???的密度分别为
2?2??2?令z?x?g(x)??故由???与???独立得
???f(x?s)f(s)ds, h(y)?????f(y?t)f(t)dt.
12?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)??g(x)h(y)。 ?2??2?
令m(x)?logf(x)（此处用了f(x)?0），则有
?1??1?m?(x?y)??m?(x?y)??logg(x)?log2h(y)。 ?2??2?由假定知m(x)有二阶导数，上式对x求导得
?x?y??x?y??x?y??x?y?'m'?????m?????(logg(x))x ?2??2?x?2??2?x再对y求一次导数得
''1?1?1?1?m???(x?y)??m???(x?y)??0. 4?2?4?2?11对任意u,v，选择x,y使u?(x?y),v?(x?y)则由上式得m??(u)?m??(v)?0.
2222由u,v的任意性得m????常数，因而m(x)?a?bx?cx，即有f(x)?exp(a?bx?cx). 所以?,?，从而???,???均匀正态分布。
44、解：（1）将弦的一端A固定，另一端B在圆周上等可能分布，记?1表示沿逆时针方向AB弧长，则?1在(0,2?)上服从均匀分布，
4?/314??1?2?P{弦长?3}?P???1?dx? ???2?/33?2?3?3?（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记?2表示弦的中点坐标，则?2在[-1,1]
上服从均匀分布，
1?11?1P{弦长?3}?P????2????21dx?
?2?22?22 17
1（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为??(?1,?2)，则?在圆内
1{(x,y):x2?y2?1}2服从均匀分布，记D?{(x,y):x2?y2?}，则
211P{弦长?3}?P???D????dxdy?
?4221x?y?2三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结论。
45、证：（1）若??f???B?????，则f(?)??B?，必存在某个?0??使f(?)?B?0，亦有
??????????f?1(B?0)，从而???f?1(B?)，
?1????
反之，若??从而??f?1??1?1??f(B)?fB??????? （1）
????????f?????1必存在某个?0??使??f?1(B?0)亦有f(?)?B?0，即f(?)??B?，(B?)，
??????B?????， ????????1??f?1?B?f(B?)。 （2） ?????????????
由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
???1?f?1?B?f(B?)。 ????????????????1?B?????，则f(?)??B?，即f(?)属于每个B?(???)，得??f(B?)（对
?????????1任一???），从而???f?B??，
（2）若??f?1?????1?1??f(B)?fB???????。 （3）
?????????1?1反之，若???f?B??，则?属于每个f?B???(???)，亦有f(?)属于每个B?(???)，即
??????f(?)??B?，从而??f?1?B?????，
???????????1??f?1?B?f(B?)。 （4） ?????????????由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
???1?f?1?B?f(B?)。 ??????????????1?1（3）若??f(B)，则f(?)?B，亦有??f(B)，从而??f?1(B)，所以f?1(B)?f?1(B)。
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反之，若??f?1(B)，则??f?1(B)，亦有f(?)?B，即f(?)?B，从而??f?1(B)，所以
f?1(B)?f?1(B)。
由以上证明可得f?1(B)?f?1(B)，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。
46、证：必要性。设?是随机变量，则对C?B有{?:?(?)?C}?F，又(??,x)?B1，
?{?:?(?)?x}?{?:?(?)?(??,x)?F.
充分性。记M?{A:A?R1,(?:?(?)?A)?F}，现证M是R中??域。 （1）{?:?(?)?R1}???F，故R?M。 （2）若C?M,由上题f对余集运算封闭。
?111
(C)?f?1(C)得(?:?(?)?C)???(?:?(?)?C}?F,故C?M（3）设Ci?M,?，由上题（1）中结论得
?Ci?1?i?M，M关于可列并集运算封闭。
由(1)－(3)知，M是??域的集类。由条件知，M?{(??,x):x?R1},
?M?S{(??,x):x?R1}?B1,
其中S{A}表示由集类A产生的??域。由此得证?是一随机变量。
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