??1?Fa(y)?P{S?y}?P??d2?y??P?d??4??当y?4y????a??4y?1dx； b?a1212?a时Fa(y)?0；当y??b时Fa(y)?1。由此对Fa(y)求导（利用对参数积分求导法则）4412121212得圆面积的分布密度为，当y??a或y??b时pa(y)?0；当?a?y??b时
4444?y。 pa(y)?F'a(y)?(b?a)?y29、解：?与?的密度函数为
?1,0?x?1 （1） p?(x)?p?(x)??0,其它?由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y p?(y)?????p?(x)p?(y?x)dx （2） 2 C 把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，
0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B 0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1。所以当 0?y?1时（2）中积分为
p?(y)??1?1dx?y A 0 1 x 0y当1?y?2时，（2）中积分为
p?(y)??1?1dx?2?y;
y?11对其余的y有p?(y)?0。 30、解：p?(x)?p?(x)?由求商的密度函数的公式得
12?e1?x221?2(x2?y2)， p??(x,y)? e2?11?2(x2y2?x2)2edx?p?(y)??|x|p(xy,x)dx??|x|????2?2???1??0xe1?x2(1?y2)2dx
1???1?y21x2(1?y2)???112?e?, ???y??? ??2??0?(1?y)???
?服从柯西分布。 ?111(s?t),y?(s?t),|J|?。由?与?独立知，22231、解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得x?它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
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pUV(s,t)? ?12?1e4?e1?x22??12?e11?y22?|J|?e1?s?????2?2??21e2??221??s?t??s?t??????????2???2??2????1 21?(s2?t2)412??22??2e1?t?????2?2??2?pU(s)pV(t)
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。
32、解：当y?0时由独立性得
1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}
??P{?1?y}??(1?F?i(y))??(ei?1i?1i?1n????F?(y)?1?exp??y???i?
??nnn??iy)?exp(?y??i)
i?1n当时。求导得的密度函数为，当时；当时
33、解：设(0,a)在内任意投两点?1,?2，其坐标分别为x,y，则?1,?2的联合分布密度为
(x,y)?(0,a)?(0,a)?0,?p(x,y)??1。
,(x,y)?(0,a)?(0,a)??a2设??|?1??2|，则?的分布函数为，当z?0时F?(z)?0；当z?a时F?(z)?1；当0?z?a时，
F?(z)?P{|?1??2|?z}??z?x?y?z0?x,y?a??p(x,y)dxdy?1a2?z?x?y?z0?x,y?a??dxdy?1S， 2a积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 y
a2?(a?z)2?2az?z2，所以 E D F?(z)?(2az?z2)/a2.
34、证：由独立性得，V?(x,y,z)的概率密度为 Fz C p(x,y,z)?S?1(2?)?33e?12?2(x2?y2?z2) 0 A Bz a x x2?y2?z2的分布函数为，当s?0时，
F(s)?Px?y?z?s??222?x2?y2?z2?S2??a1(2?)?133e?12?2(x2?y?z2)dxdydz
作球面坐标变换，x??cos?sin?,y?sin?sin?,z??cos?，则|J|??2sin?，
F(s)?? ?2??2
2?0d??sin?d??0?0(2?)3?3e1??2/?22??2d?
?a01(2?)3?3e1??2/?22??2d?
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由此式对s求导可得，当s?0时，S的密度函数为
?s2?? F'(s)?f(s)?exp??22?????2??35、证：（3.14）式为
2s2p(x)?1?1?2??n??2?1n2x11n?1?x22e,x?0。
令y?x?，则x?ny2,x'y?2ny，由p(y)?p[f?1(y)]|[f?1(y)]'|得，的密度函数为，当nn(ny)1n221n?121?ny22y?0时
p?/n(y)??1?2????2?e?2ny?2nyn?1?1?2????2?1n21n2e1?ny22
?与
?n仍独立。记T??/??/n，则由商的密度函数公式得T的密度函数为
(y)dy??y??/n0?pT(t)??|y|p?(ty)p??1n212?e1?t2y22?2ny1n21n2n?1e1?ny22?1?2??n??2?dy
?1?2?2??n??2?du222令u?y(n?t)，则dy?，得
(n?t2)0 ???n1n2?(y)21(n?1)?12e1?y2(n?t2)2dy2，
pT(t)?n(n?t)1n21n21?(n?1)22??1?2?2??n??2? ?1?1?(n?1)??1?(n?1)n22??2?(n?t)2 11n?1?(n?1)?1?22?22??????2??2?0??u?11(n?1)?1?u22edu?1?1??(n?1)?2?2(n?1)t?2?????pT(t)??1? ???t?? ??n??1?n???n???2? 13
36、解：U的分布函数为，当t?0时F(t)?0；当t?0时有
tt?x0t?x?y0F(t)?x?y?z?t???p(x,y,z)dxdydz??dx?0dy?6dz 4(1?x?y)tt?2t22 ???dxdy
(1?t)32?0?0(1?x?y?z)3tt?t2t11tt2 ????dx?dx?1???3222300t?1(1?t)(1?t)(1?t)(1?x)(1?t)3t2对F(t)求导可得U的密度函数为，当t?0时p(t)?0；当t?0时p(t)?。
(1?t)437、证：（U，V）联合分布函数为
1?2(x2?y2)F(u,v)???edxdy
2?x2?y2?ux?vy122当s?0时作变换，s?x?y,t?x，反函数有两支 yJ?1??ssx?tx??t??(1?t2)(1?t2)??与 ??ss?y??y??s22??(1?t)(1?t)??2x2y2x21x??2?2??2(t2?1)，|J|??1 2?2y2(1?t)yy考虑到反函数有两支，分别利用两组
????11uv1?2s1??1?2(x2?y2)F(u,v)????????edxdy?2??e?dt 20??2?2?2(1?t)?x2?y2?ux2?y2?u?x?x?v,y?0?v,y?0?y?y?对F(u,v)求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）
1?u1p(u,v)?e2?,22?(1?v)11u?0,0?v??
1?u1若令pU(u)?e2(u?0),pV(v)?(???v??)， 22?(1?v)则U服从指数分布，V服从柯西分布，且p(u,v)?pU(u)?pV(v)，所以U，V两随机变量独立。 38、证：当x?o时，?与?的密度函数分别为
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p?(x)??r1?(r1)xr1?1??xe,p?(x)??r2?(r2)xr2?1e??x;
当x?0时，p?(x)?p?(x)?0。设U????,V?当s?0,t?0时，作变换s?x?y,t?p(s,t)?0；所以
?。当s?0或t?0时，（U，V）联合密度为?xstss，得x?，y?而|J|?，y(1?t)(1?t)(1?t)2p(s,t)??r?r12?(r1)?(r2)xr1?1yr2?1e??(x?y)|J|
r?1r?112s?st??s???s? ????e?(r1)?(r2)?1?t??1?t?(1?t)212?r?r??r1?r2??(r1?r2)tr1?1r1?r2?1??s???se????r1?r2??(r1)?(r2)???(r1)?(r2)(1?t)
由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。 39、解：令U????,V????pU(s)pV(t) ??(???)，当s?0或t?(0,1)时，U，V联合密度p(s,t)?0；当s?0且
x，则x?st,y?s?st,|J|?s，
(x?y)p(s,t)?e?xe?y|J|?se?(x?y)?se?s?1?pU(s)pV(t)
由此得U服从??分布G(1,2)，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。 t?(0,1)时作变换s?x?y,y?40、解:（2.22）式为
??(x?n)22r(x?a)(y?b)(y?b)2??1??p(x,y)?exp???????2222??2(1?r)???2??1?21?r1212????? 设Ui????,Vi????;U?U1?a?b,V?V1?a?b。作变换s?x?y?a?b，
111t?x?y?a?b则x?a?(s?t)，y?b?(s?t), |J|?。U，V的联合密度函数为
222f(s,t)?p(x,y)|J|
1??(s?t)22r(s?t)(s?t)(s?t)2??111????exp???? 2?22??22??1?21?r24??4?2???12?2(1?r)?4?1?
?14??1?2?122222222? exp??s????2???t????2???2st(???)?12121212212221?r2?8(1?r)?1?2???????设U，V的边际分布密度函数分别为fU(s),fV(t)，欲U与V独立，必须且只需f(s,t)?fU(s)?fV(t)，
22由f(s,t)的表达式可知，这当且仅当?2??1?0时成立。U，V相互独立与Ui,Vi相互独立显然是等
价的，所以Ui????,Vi????相互独立的充要条件是?1??2。当?1??2??时，得
????s21s2fU(s)?exp??f(t)?exp?， ?V2?2?2??(1?r)2??(1?r)?4(1?r)???4(1?r)??1 15