概率论与数理统计实验指导书
实验二 概率分布(概率密度)、分布函数和上分位点的数值计算
一、 实验问题 1. 问题背景
在 MATLAB 中, 对常见概率分布都有相应的概率密度函数(probability density function,简记为 pdf); 分布函数也叫累积分布函数(cumulative distribution function, 简记为 cdf); 还有逆累积分布函数. 逆累积分布函数就是分布函数的反函数. 例如, 随机变量X在x处的分布函数值是p=F(x)=P{X≤x}; 反过来, 给定概率值 p, 求出 x 就是在 p 点的逆累积分布函数值. 在 MATLAB 中, 所有的概率密度函数都带有后缀pdf; 所有的累积分布函数都带有后缀cdf; 所有的逆累积分布函数都带有后缀 inv. 常见的离散型随机变量的概率分布有: 二项分布, 泊松分布,几何分布, 超几何分布. 常见的连续型随机变量的概率分 布有: 均匀分布, 指数分布, 正态分布. 还有统计函数(又叫抽样分布): t 分布, χ 2 分布, F分布.
本实验学习一些经常使用的关于概率分布的基本操作, 掌握这些基本操 作将大大提高进行实验和实际应用的能力.
2. 实验目的与要求
(1) 会利用 MATLAB 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律);
(2) 会利用 MATLAB 软件计算分布函数值, 或计算形如事件{X≤x}的概率; (3) 给出概率p和分布函数, 会求上α分位点, 或求解概率表达式中的待定参数.
二、 实验操作过程 1. 二项分布
X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数, 事件A在一次试验中发生的概率是p, 则在n次试验中A恰好发生k次的概率为
, k=0,1, 2, ?,n. 则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布, 记作 X~B(n, p).
(1) 计算在x处, 参数是 n, p的二项分布的概率 P{X=x}以及分布律
在 MATLAB中, 二项分布的分布密度函数(分布律)是binopdf, 其调用格式是: ·y=binopdf(x,n,p) %计算在x 处, 参数是 n, p 的二项分布的概率.
输入参数x, n, p可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个或两个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-1 事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 计算在10次试验中A恰好发生6次的概率.
解 在命令窗口中输入:
p=binopdf(6, 10, 0.3)
回车后显示:
p =
0.0368
结果表明： 参数是n=10,概率是p=0.3的二项分布在X=6处的概率为0.0368.
例2-2 事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 求在4次试验中A发生次数的概率分布. 解 在命令窗口中输入:
p=binopdf(0:4,4,0.3) %0: 4产生步长为 1 的等差数列 0, 1, 2, 3, 4.
回车后显示:
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p =
0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
计算的结果是: 参数是n=4, 概率是p=0.3的二项分布的分布律(当 x=0,1,2,3,4 时). (2) 计算在 x处,参数是 n,p的二项分布的分布函数值或概率 P{X≤x} 二项分布的分布函数是binocdf, 其调用格式是:
· y=binocdf(x,n,p) %计算在x 处,参数是 n, p的二项分布的分布函数值. 输入参数x, n, p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个或两个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例2-3 事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 计算在10次试验中A至少发生6次的概率.
解 在命令窗口中输入:
p=binocdf(6,10,0.3) % 比较例 2-1命令binopdf(6,10,0.3).
回车后显示:
p =
0.9894
结果表明：参数是 n=10, 概率是 p=0.3 的二项分布在 x=6 处的分布函数值F(6)=P{X≤6}=0.9894.
2. 泊松分布
参数是λ的泊松分布P(λ), 在 X=x处的概率是
(1) 计算在 x处, 参数是λ的泊松分布的概率P{X=x}以及分布律 在MATLAB中, 泊松分布的分布密度函数是poisspdf, 其调用格式是:
· y=poisspdf(x, lambda) % 计算在 x 处, 参数是 lambda 的泊松分布的概率.
输入参数 x,lambda 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个是标量, 另一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-4 设随机变量 X服从参数是3的泊松分布, 求概率 P{X=6}. 解 在命令窗口中输入:
p=poisspdf(6,3)
回车后显示:
p =
0.0504
结果表明：参数是 λ=3 的泊松分布在x=6处的概率为0.0504. 例 2-5 写出参数为 3 的泊松分布的前6项的概率分布. 解 在命令窗口中输入:
p=poisspdf(0:5,3) % 0:5 产生步长为 1的等差数列0,1,2,3,4,5.
回车后显示:
p =
0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008
计算的结果是, 参数为λ=3的泊松分布的前6项的概率(当x=0,1,2,3,4,5时). (2) 计算在x处, 参数是λ的泊松分布的分布函数值或概率 P{X≤x}
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泊松分布的分布函数是 poisscdf, 其调用格式是:
·y=poisscdf(x, lambda) %计算在x 处, 参数是 lambda 的泊松分布的分布函数值. 输入参数x, lambda可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个标量, 另外一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-6 设随机变量X服从参数是3的泊松分布, 计算概率 P{X≤6}. 解 在命令窗口中输入:
p=poisscdf(6,3) % 比较例 2-4命令 poisspdf(6,3).
回车后显示:
p =
0.9665
结果表明：参数是 λ=3 的泊松分布在 x=6 处的分布函数值 F(6)=P{X≤ 6}=0.9665 .
3. 超几何分布
超几何分布的分布律是
(1) 计算在x处超几何分布的概率 P{X=x}以及分布律
在MATLAB中, 超几何分布的分布密度函数是 hygepdf, 其调用格式是: ·y=hygepdf(x, M, K, N) % 计算在 x 处超几何分布的概率.
输入参数 x, M, K, N 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个, 两个或三个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-7 如果10件产品中有7件次品, 从中任取5 件, 求其中有3 件次品的概率. 解 在命令窗口中输入:
p=hygepdf(3,10,5,7)
回车后显示:
p =
0.4167
例 2-8 如果10件产品中有7件次品, 从中任取5件, 求其中次品数的分布律. 解 在命令窗口中输入:
p=hygepdf(0:5,10,5,7)
回车后显示:
p =
0 0 0.0833 0.4167 0.4167 0.0833
计算的结果是：当x=0, 1,2, 3, 4,5 时次品数的分布律.
(2) 计算在 x处超几何分布的分布函数值或概率 P{X≤x} 超几何分布的分布函数是 hygecdf, 其调用格式是:
·y=hygecdf(x, M, K, N) % 输入参数 x,M, K, N 可以是标量、向量、矩阵.
输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个, 两个或三 个是标量, 另外的输入参数是向量或矩阵,这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-9 10 件产品中有 7 件次品, 从中任取 5 件, 求其中次品数不超过 3 的概率. 解 在命令窗口中输入:
p=hygecdf(3,10,5,7) % 比较例 2-7命令 hygepdf(3,10,5,7).
回车后显示:
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p =
0.5000
结果表明: 从中任取5件, 其中次品数不超过3的概率F(3)=P{X≤3}=0.5. 4. 几何分布
参数是 p 的几何分布, 在 X=x 处的概率是
(1) 计算在 x处, 参数是 p的几何分布的概率 P{X=x}以及分布律 在 MATLAB 中, 几何分布的分布密度函数是 geopdf, 其调用格式是: ·y=geopdf(x, p) % 计算在 x 处, 参数是 p 的几何分布的概率. 输入参数 x, p 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中输入参数中可以有一个是标量, 另一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-10 设随机变量 X服从参数是 0.3 的几何分布, 求 X=6 时的概率. 解 在命令窗口中输入:
y=geopdf(6,0.3)
回车后显示:
y =
0.0353
例 2-11 设随机变量X 服从参数是 0.3 的几何分布, 求 X=1,2,?,5 时的概率分布. 解 在命令窗口中输入:
p=geopdf(1:5,0.3)
回车后显示:
p =
0.2100 0.1470 0.1029 0.0720 0.0504
计算的结果是: 当 x=1,2,3,4,5 时前 5项的概率, 或者说概率分布. (2) 计算在 x处,参数是 p的几何分布的分布函数值或概率 P{X≤x} 几何分布的分布函数是 geocdf, 其调用格式是:
·y=geocdf(x, p) % 计算在 x 处,参数是p 的几何分布的分布函数值.
输入参数 x, p 可以是标量、向量、矩阵. 输出参数与输入参数的形式一致. 其中 输入参数中可以有一个标量, 另外一个输入参数是向量或矩阵, 这时, 输出形式是向量或矩阵.
例 2-12 设随机变量服从参数是 0.3 的几何分布, 求概率 P{X≤6}. 解 在命令窗口中输入:
y=geocdf(6,0.3) % 比较例 2-10 命令 geopdf(6,0.3).
回车后显示:
y =
0.9176
结果表明: 参数 p=0.3 的几何分布在 x=6 处的分布函数值是 F(6)=P{X≤ 6}=0.9176.
5. 均匀分布
(1) 计算均匀分布的概率密度函数值 若连续型随机变量 X的概率密度为
则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为 X~U(a,b), a, b 为分布参数, 且a 19 概率论与数理统计实验指导书 在MATLAB中, 用函数unifpdf计算均匀分布的概率密度函数值. 其基本调用格式是: ·y=unifpdf(x, a, b) %输入参数可以是标量、向量、矩阵. 一个常数输入参数(参见例 2-16), 可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵. 例 2-13 设随机变量 X服从区间[2, 6]上的均匀分布, 求 X=4 时的概率密度值. 解 在命令窗口中输入: y=unifpdf(4,2,6) 回车后显示: y = 0.2500 (2) 计算均匀分布的分布函数值或概率 P{X≤x} 区间(a, b)上的均匀分布的分布函数是 在MATLAB中, 用函数unifcdf 计算均匀分布的分布函数值. 其基本调用格式是: ·y=unifcdf(x, a, b) % 输入参数可以是标量、向量、矩阵. 一个常数输入参数(参见例 2-16), 可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵. 例 2-14 设随机变量X服从区间(2, 6)上的均匀分布, 求事件{X≤4}的概率. 解 在命令窗口中输入: y=unifcdf(4,2,6) % 比较例 2-13命令 unifpdf(4,2,6). 回车后显示 y = 0.5000 结果表明: 对于区间(2, 6)上的均匀分布, 在x=4处的分布函数值F(4)=P{X ≤4}=0.5000. 6. 指数分布 (1) 计算指数分布的概率密度函数值 参数为μ的指数分布的概率密度函数是: 注意 许多教科书上用概率密度函数 在MATLAB中, 用函数exppdf 计算指数分布的概率密度函数值. 其基本调用格式是: ·y=exppdf(x, mu) % 输入参数可以是标量、向量或矩阵. 一个常数输入参数,可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵, 见例 2-16. 例 2-15 设随机变量 X 服从参数是 6 的指数分布, 求 X=6 时的概率密度值. 解 在命令窗口中输入: y=exppdf(3,6) 回车后显示 20