概率论与数理统计实验指导书
图 4-4 正态分布概率图形 图 4-5 指数分布概率图形 (5) 样本数据的箱形图
箱形图可以比较清晰地表示数据的分布特征. 它由 5个部分组成:
1) 箱形上、下的横线为样本的 25%和 75%分位数, 箱形顶部和底部的差值为内四分位极值;
2) 箱形中间的横线为样本的中值. 若该横线没在箱形中央, 则说明存在偏度;
3) 箱形向上或向下延伸的直线称为“触须”. 若没有异常值, 样本的最大值为上触须的顶部, 样本最小值为下触须的底部. 默认情况下, 距离箱形顶部或底部大于 1.5倍内四分位极值的值称为异常值;
4) 图中顶部的加号表示该处数据为一异常值. 该值的异常可能是输入错误、测量失误或系统误差引起;
5) 箱形两侧的“V”形槽口对应于样本中值的置信区间. 默认情况下, 箱形图没有“V”形槽口.
调用格式:
·boxplot(X) % 产生矩阵 X 的每一列的箱形图和“触须”图, “触须”从箱形末端延伸出来, 表示数据向极大和极小方向延伸的程度. 如果“触须”的外面没有数据, 则在“触须”的底部有一个点.
·boxplot(X, notch) %当notch=1时, 产生一个带刻槽的箱形图. 默认时 notch=0, 产生一个矩形箱形图.
·boxplot(X, notch, 'sym') %sym表示图形颜色和符号, 默认值为蓝 色和“+”. ·boxplot(X, notch, 'sym', vert) %当 vert=0 时, 生成水平箱形图; vert=1 时, 生成竖直箱形图(默认值 vert=1).
·boxplot(X, notch, 'sym', vert, whis) %whis 定义“触须”图的长度. 若 whis=0, 则 boxplot 函数通过绘制 sym符号图来显示箱形图以外的数据值.
例4-6 产生100个均值为5, 标准差为1的正态分布的随机数, 再产生100个均值为 6, 标准差为 1 的正态分布的随机数, 用箱形图比较它们均值大小.
解 在命令窗口中输入:
x1 = normrnd(5, 1, 100, 1); x2 = normrnd(6, 1, 100, 1);
x = [x1 x2]; %形成 100 行2 列正态分布的随机数. boxplot(x, 1, 'g+', 1, 0) %产生矩阵X的每一列的箱形图和“触须”图.
回车后显示(见图 4-6):
36
概率论与数理统计实验指导书
图4-6 两个正态样本的箱形图比较
(6) 样本的概率图形——获得概率分布和落入区间概率
利用“样本的概率图形”, 可以获得随机变量落在指定范围内的概率, 获得样本分布的概率密度图形.
调用格式:
· p = capaplot(data,specs) % data为所给样本数据, specs指定范围, p表示在指定范围内的概率.
例 4-9 产生 30 个标准正态分布的随机数, 计算这些数据落入区间[-2, 2] 的概率. 解 在命令窗口中输入:
data=normrnd (0, 1, 30, 1); p=capaplot(data, [-2, 2])
回车后显示(见图 4-7):
p =
0.9199
图 4-7 落入指定区间的样本概率图片
(7) 附加有正态分布概率密度曲线的直方图 调用格式:
·histfit(data) úta为向量, 返回直方图和正态曲线.
37
概率论与数理统计实验指导书
·histfit(data, nbins) % nbins指定bar的个数, 缺省时为data中数据个数的平方根. 例 4-10 产生 100 个均值为 10, 标准差为 1 的正态分布的随机数, 画出它们的直方图并附加正态密度曲线, 观察它们之间的拟合程度.
解 在命令窗口中输入:
r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r)
回车后显示(见图 4-8):
图 4-8 直方图与正态分布概率密度曲线
(8) 在指定的界线之间画正态分布概率密度曲线并求概率 调用格式:
·p = normspec(specs,mu,sigma) %specs 指定界线, mu,sigma 为正态分 布的均值和标准差, 返回参数 p 为样本落在上、下界之间的概率.
例 4-11 画出区间[10, +∞)上均值为 11.5, 标准差为 1.25 的正态密度曲线, 并计算样本落在[10, +∞)上的概率.
解 在命令窗口中输入:
p=normspec([10 Inf],11.5,1.25)
回车后显示(见图 4-9):
p=
0.8849
38
概率论与数理统计实验指导书
图 4-9 指定范围内的正态分布概率密度曲线及概率
2. 常见分布的概率密度函数图形
关于常见分布的分布律、概率密度函数作图命令和图形, 我们只就二项分 布(离散型)、正态分布和 t分布(连续型)为例介绍. 其它分布操作与此类似.
(1) 二项分布
基本数学原理: 设 X~B(n, p). 具体概率分布见实验二.
例 4-12 设随机变量 X=0,1,?,10,计算 X 的服从二项分布 B(10,0.5)的概率, 并画出二项分布分布律图形，指出取概率最大的X 的值.
解 在命令窗口中输入:
x = 0:10;
y = binopdf(x, 10, 0.5); plot(x, y, '+')
回车后显示(见图 4-10):
图 4-9 二项分布的分布律图形
(2) 正态分布
基本数学原理: 设 X～N(μ,σ2), 具体概率密度见实验二.
例4-13 设随机变量X取区间[-3, 3]上步长为0.2的各值, 计算X的服从标准正态分布的概率, 并画出概率密度函数图形.
解 在命令窗口中输入:
x=-3:0.2:3;
y=normpdf(x, 0, 1); plot(x, y)
回车后显示(见图 4-11):
39
概率论与数理统计实验指导书
图 4-11 正态分布密度函数图形
(3) t分布
基本数学原理: 设X服从自由度为n的t分布, 具体概率密度见实验二.
例 4-14 设随机变量 X 取区间[-5, 5]上步长为 0.1 的各值, 计算X 的服从参数为 5 的 t 分布的概率, 并画出概率密度函数图形，同时画出标准正态概率密度曲线，观察二者的区别.
解 在命令窗口中输入:
x = -5:0.1:5; y = tpdf(x, 5); z = normpdf(x, 0, 1); plot(x, y, '-', x, z, '-.')
回车后显示(见图 4-12):
图4-12 t分布密度函数图形和标准正态曲线
例 4-15 某人向空中抛掷一枚硬币 100 次, 落下后“正面向上”的概率为 0.5. 这 100次中正面向上的次数记为 X.
(1) 试计算{X=45}的概率和{X≤45}的概率; (2) 绘制分布律图形和分布函数图像. 解 在命令窗口中输入:
clear;
px=binopdf(45, 100, 0.5) %计算{X=45}的概率.
40