概率论与数理统计实验指导书
2-30), 可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵. 注 意: 输入参数 p是概率, 其范围在[0,1]之间, 它与 α 的关系是 p=1-α.
例2-31 设随机变量X服从第一自由度是4, 第二自由度是6的F分布, 求 上 0.05 分位点.
解 在命令窗口中输入:
y=finv(0.95, 4, 6) % 比较 finv(0.05, 4, 6)是 0.1632.
回车后显示:
y =
4.5337
结果表明: 对于自由度 n1=4, n2=6 的 F 分布, 满足的上
α分位点F0.05(4,6)=4.5337.
三、实验结论与总结
计算离散型随机变量中的概率密度函数时, x 取值应该是自然数, 如果取 其它值(非自然数!), 其概率密度函数的值为 0. 在计算逆累积分布函数时, 输入参数 p 是概率, 应该在[0,1]之间, 如果超出这个范围, 求出的值为 NaN, 这 是 MATLAB中的一个符号, 表示不是一个数(Not-a-Number). 本实验全面综合了概率论的主要知识点, 要求读者应该熟练掌握和理解.
四、实验习题
1. 一大楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1. 问在同一时刻：
(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？
2. 有 1000 件产品, 其中 900 件是正品, 其余是次品. 现从中任取 1 件,有放回地取 5次. 试求这 5 件产品中所含次品数 X的分布律.
3. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4的泊松分布. 求: (1) 每一分钟恰有 8 次呼唤的概率； (2) 某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率.
4. 设 X ~N(2, 6), 求: (1)x=2 时的概率密度值;
(2) 事件{ X≤-2}, { X≤2},{ X≤18}的概率,并比较实际含义; (3) 上0.01 分位点.
5. 设 X 服从区间(2, 6)上的均匀分布, 求: (1)x=2.5时的概率密度值;
(2) 事件{ X≤1},{ X≤3}, {X≤6}的概率, 并比较实际含义; (3) 上0.01 分位点.
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实验三 随机数的生成
一、 实验问题 1. 问题背景
多次重复地抛掷一枚匀质的硬币是一个古老而现实的实验问题, 通过分析“正面向上”出现的频率, 我们可以从中得出许多结论. 但要做这个简单而重复的试验, 很多人没有多余的时间或耐心来完成它, 现在借助于计算机的帮 助，人人都可以在很短的时间内完成它. 因此，借助于计算机进行模拟随机试 验, 产生服从各类分布的随机数, 通过数据处理和分析, 我们可以从中发现许 多有用的规律, 或者来验证我们理论推导的结论是否正确. 本实验的主要目的 是产生服从某种分布的随机数.
2. 实验目的与要求
(1) 熟悉常见分布的随机数产生的有关命令; (2) 掌握随机模拟的方法;
(3) 提高读者观察实验现象或处理数据方面的能力.
二、 实验操作过程 随机数生成的基本原理
生成服从给定分布的随机数, 需要首先生成服从均匀分布的随机数. 常用的生成均匀分布随机数的方法是同余法, 其递推公式为
给定初值x0, 可以迭代出均匀随机数x1, x2, ?, xn, 将它们进行标准化(此时随机数界于0和1之间)或极差标准化(此时随机数界于-1和1之间), 可以得 到均匀分布的随机数.
获得均匀分布的随机数以后, 可以用多种方法构造基于该随机数的随机 变量, 常用的方法是反函数法, 即利用随机变量 x 的分布函数 F(x)的反函数 F-1 (x)来推求随机变量. 基本算法是:
(1) 产生均匀分布随机数ri; (2) 令, 然后返回.
下面结合正态分布随机变量的生成进行具体介绍: 正态分布的分布函数为
式中μ为期望, σ2为方差. 由中心极限定理, 有
当 n = 12 时, 可达到较好精度, 故
x就是基于均匀分布随机数ri的服从正态分布的随机数.
1. 二项分布的随机数的产生
基本数学原理: 设X服从参数为n, p的二项分布. 在MATLAB中用函数 binornd产生参数为 n, p 的二项分布的随机数，其基本的调用格式如下：
·R = binornd(N, P) % N, P为二项分布的两个参数, 返回服从参数为 N, P 的二项分布的一个随机数;
·R = binornd(N, P, m, n) % m, n分别表示随机数产生的行数和列数. 例 3-1 产生参数为10, 概率为0.5 的二项分布的随机数.
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(1) 产生 1 个随机数; (2) 产生 10 个随机数;
(3) 产生 6(要求 2 行3 列)个随机数. 解 只需在命令窗口中依次输入下列命令:
R1=binornd(10,0.5), %产生一个随机数 5.
R2=binornd(10,0.5,1,10), %产生1行10列共 10个随机数. R3=binornd(10,0.5,[2,3]). %同命令 binornd(10,0.5,2,3).
2． 均匀分布的随机数的产生
基本数学原理: 设X在区间(a,b)上服从均匀分布, 具体概率密度见实验二.
在MATLAB中用函数unifrnd产生均匀分布的随机数，其基本调用格式如 下：
·R=unifrnd(a, b) %返回参数为 a,b的连续型均匀分布的随机数; ·R = unifrnd(a, b, m) % m 指定产生m 行 m列个随机数;
·R = unifrnd(a, b, m, n) % m, n分别表示产生的随机数的行数和列数. 例 3-2 产生区间(0, 1)上的连续型均匀分布的随机数. (1) 产生 6×6个随机数;
(2) 产生 6(要求 2 行3 列)个随机数. 解 只需在命令窗口中依次输入下列命令:
random1= unifrnd(0, 1, 6), % 产生6 行 6 列个随机数. random2= unifrnd(0, 1, 2, 3). % 产生2 行 3 列个随机数.
注意 命令 unidrnd(N, 2, 3) 产生2 行 3 列个离散型均匀分布的随机数.
3. 正态分布的随机数的产生
基本数学原理: 设 X 服从参数为μ和σ2的正态分布,在 MATLAB 中用函数 normrnd产生参数为 μ, σ的正态分布的随机数，其基本的调用格式如下：
·R = normrnd(MU, SIGMA) %返回均值为 MU, 标准差为SIGMA的正态分布的随机数, R可以是向量或矩阵;
·R = normrnd(MU, SIGMA, m) % m 指定随机数的行数与列数, 与 R 同维数, 产生 m 行m 列个随机数;
·R = normrnd(MU, SIGMA, m, n) %m, n分别表示R 的行数和列数. 例 3-3 生成满足下列情形的正态分布随机数: (1) 均值和标准差变化; (2) 随机数输出为矩阵; (3) 均值为矩阵.
解 (1) 在命令窗口中输入:
n1 = normrnd(1:6, 1./(1:6)) %1./(1:6)运算结果是
回车后显示：
n1 =
2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827
结果表示: 均值μ为1,2, 3, 4, 5,6, 标准差σ对应地为大多数随机数在均值附近产生, 其它分布也有类似情形.
(2) 在命令窗口再输入：
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的正态随机数. 注意,
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n2=normrnd(10, 0.5, [2, 3]) %与命令normrnd(10,0.5,2,3)效果相同.
回车后显示：
n2 =
9.7837 10.0627 9.4268 9.1672 10.1438 10.5955
结果表示: 均值 μ为 10, 标准差 σ为 0.5 的2 行 3 列个正态随机数. (3) 在命令窗口再输入：
n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3)
回车后显示：
n3 =
0.9299 1.9361 2.9640 4.1246 5.0577 5.9864
结果表示: 均值 μ 为矩阵 123 456 ,标准差σ为0.1的2行3列个正态随机数.
4. 常见分布的随机数的产生
常见分布的随机数产生的使用格式与上面相同，见表3-1.
表3-1 常见分布的随机数产生函数表 函数名 betarnd binornd chi2rnd exprnd frnd gamrnd geornd hygernd lognrnd nbinrnd ncfrnd nctrnd ncx2rnd normrnd poissrnd raylrnd trnd unidrnd unifrnd weibrnd 调用形式 betarnd(A, B,m,n) binornd(N,P,m,n) chi2rnd(N, m, n) exprnd(Lambda,m,n) frnd(N1, N2, m,n) gamrnd(A, B, m,n) geornd(P,m,n) hygernd(M,K,N,m,n) nbinrnd(R, P,m,n) ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) nctrnd(N, delta, m,n) ncx2rnd(N, delta, m,n) normrnd(MU, SIGMA, m,n) poissrnd(Lambda,m,n) raylrnd(B, m,n) trnd(N, m,n) unidrnd(N,m, n) unifrnd ( A,B,m,n) weibrnd(A, B,m, n) 注 释 参数为A, B的β分布随机数 参数为N, p的二项分布随机数 自由度为N的χ 2 分布随机数 参数为Lambda的指数分布随机数 第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分 布随机数 参数为A, B的γ分布随机数 参数为 P的几何分布随机数 参数为 M，K，N的超几何分布随机数 参数为R, P的负二项式分布随机数 参数为N1,N2, delta的非中心F分布随机数 参数为N, delta的非中心t分布随机数 参数为N, delta的非中心卡方分布随机数 参数为MU, SIGMA的正态分布随机数 参数为Lambda的泊松分布随机数 参数为B的瑞利分布随机数 自由度为N的t分布随机数 离散型均匀分布随机数 (A,B)上连续型均匀分布随机数 参数为A, B的威布尔分布随机数 lognrnd(MU, SIGMA, m, n) 参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机 数
5． 通用函数求各分布的随机数
在MATLAB中用函数random产生指定分布的随机数，其基本的调用格式如下： ·y = random('name',A1,A2,A3, m, n) % name为分布函数名, 其取值见表 3-2; A1,
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A2,A3 为分布的参数; m,n指定产生随机数的行数和列数.
表3-2 常见分布函数名称表 name的取值 'beta' 或 'beta' 'bino' 或 'binomial' 'chi2' 或 'chisquare' 'exp' 或 'exponential' 'f' 或 'f' 'gam' 或 'gamma' 'geo' 或 'geometric' 'hyge' 或 'hypergeometric' 'logn' 或 'lognormal' 'nbin' 或 'negative Binomial' 'ncf' 或 'Noncentral F' 'nct' 或 'Noncentral t' 'ncx2' 或 'noncentralchi-square' 'norm' 或 'normal' 'poiss' 或 'poisson' 'rayl' 或 'rayleigh' 't' 或 't' 'unif' 或 'uniform' 'unid' 或 'discreteuniform' 'weib' 或 'weibull' 函数说明 beta分布 二项分布 χ2分布 指数分布 F分布 γ分布 几何分布 超几何分布 对数正态分布 负二项式分布 非中心F分布 非中心t分布 非中心χ2分布 正态分布 泊松分布 瑞利分布 t分布 连续型均匀分布 离散型均匀分布 Weibull分布
例 3-4 用函数“random”产生12(含3行4列)个均值为2, 标准差为0.3的正态分布随机数.
解 在命令窗口输入：
y=random('norm', 2, 0.3, 3, 4)
回车后显示：
y =
2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178
6. 随机数生成工具箱
MATLAB提供了随机数生成工具箱, 使用图形用户界面, 可以交互式地生成常用的各种随机数.
调用格式: ·randtool
说明: randtool 命令打开一个图形用户界面, 可以观察在服从一定概率分布的随机样本直方图上改变参数和样本大小带来的变化.
单击“Export?”(即“输出”按钮)按钮, 输出随机数的当前位置. 结果保存在变量“ans”中. 单击“Resample” (即“重复取样”按钮)按钮, 从同一分布的总体中进行重复取样.
在图形上方的函数“Distribution”(即“分布类型”按钮)弹出式菜单中进行选择, 可以
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