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考点：1、线面平行的判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.
21．（1）证明见解析；（2）3?a?5；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，从而得切线方程为（2）令g′a?x?2??3x?y?2，进而得切线过定点；?x??0得x?1或x?是g?x?在区间?0,3?上的极大值可得
2a?3，g?1?32a?3?1且g?1??g?3?，可得结果；（3）令32a?32a?3g′?x??0，得x?1或x?3，g?x?递增；令g′?x??0，得1?x?3,g?x?递
a?b2a?3?aa?b??为单调函数，则，即a?b?3. ,?3333??2减，若g?x?在?试题解析：（1）?f′?x??3x?2ax?a,∴f′?1??3?a，
?f?1??a?1,∴曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为y??a?1???3?a??x?1?，即a?x?2??3x?y?2，令x?2，则y?4， 故曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线过定点?2,4?.
（2）解：g′?x??f′?x??a?3?3x2?2ax?2a?3??x?1???3x??2a?3???. 令g′?x??0得x?1或x???2a?3. 32a?3?1,∴a?3. 3?g?1?是g?x?在区间?0,3?上的极大值，∴令g′?x??0，得x?1或x?减.
2a?32a?3，g?x?递增；令g′,g?x?递x??0，得1?x??33?g?1?不是g?x?在区间?0,3?上的最大值， ∴g?x?在区间?0,3?上的最大值为g?3??18?2a.
3?a?5. ∴g?3??18?2a?g?1??2a?2,∴a?5，又a?3,∴（3）证明：g′?x??f′?x??a?3?3x2?2ax?2a?3??x?1???3x??2a?3???.
?a??3,???,∴2a?3?1. 32a?32a?3，g?x?递增；令g′,g?x?递x??0，得1?x??33令g′?x??0，得x?1或x?减.
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?a??3,???,∴1?若g?x?在?a2a?3?. 33a?b2a?3?aa?b??为单调函数，则，即a?b?3. ,?33?33?故对任意给定的正数b，总存在a??b?3,???（其中b?3?3），使得g?x?在??aa?b?,?33??上为单调函数.
考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性及利用导数求函数的极值和最值. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数求函数的极值和最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出y?f(x)在
x?x0处的导数，即y?f(x)在点P(x0,f(x0))出的切线斜率（当曲线y?f(x)在P处
的切线与y轴平行时，在x0处导数不存在，切线方程为x?x0）；（2）由点斜式求得切线方程y?y0?f'(x)?(x?x0). 22．（1）???,?3?；（2）0. 【解析】
试题分析：（1）先判断出f?x?在?0,???上单调递减，在讨论?1?a?0时及a??1时两种情况下F?x?的单调性，结合f?x?和F?x?在区间?0,ln3?上具有相同的单调性可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性 可得g?x?mi?n?1?g???????a??a，
1t22?0,et????0,e2?,?a?ht??lnt?10?t?e，可得在上递减，ht?????????2??ae∴h?t??h?e2??0.
试题解析：（1）f′?x??a?1ax?1?,F′?x??ex?a,x?0， xx?a?0,f′?x??0在?0,???上恒成立，即f?x?在?0,???上单调递减.
当?1?a?0时，F′?x??0，即F?x?在?0,???上单调递增，不合题意. 当a??1时，由F′?x??0，得x?ln??a?，由F′?x??0，得0?x?ln??a?.
∴F?x?的单调减区间为?0,ln??a??，单调增区间为?ln??a?,???.
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?f?x?和F?x?在区间?0,ln3?上具有相同的单调性. ∴ln??a??3，解得a??3，
综上，a的取值范围是???,?3?. （2）g′?x??eax?1?axeax?1?a?由eax?111????ax?1??eax?1??， xx???11?lnx1?lnxlnx?2?0得到a?,p′x?，设p?x??， ??2xxxx当x?e2时，p′?x??0；当0?x?e2时，p′?x??0.
222从而p?x?在0,e上递减，在e,??上递增，∴p?x?min?pe????????1. e2当a??在?0,?11?lnx1ax?1a?e??0. 时，，即2exx??1??x??0,g?x?递增； ?上，ax?1?0,g′a?在??1??1?,???上，ax?1?0,g′??x??0,g?x?递增，∴g?x?min?g??????a?， ?a??a?设t??1t2??0,e2?,?a?ht??lnt?10?t?e， ??????2?ae112∴ht?heh′上递减，???t??2??0,h?t?在?0,e2????0. ?et∴??a?的最小值为0.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题.利用导数研究函数f?x?的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数f?x?的定义域；②对f?x?求导；③令f'?x??0，解不等式得x的范围就是递增区间；令f'?x??0，解不等式得x的范围就是递减区间；④根据单调性求函数f?x?的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
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