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T解：由题设，（1，2，1）为A的一个特征向量，于是?1??0?14??1??1?????????A?2????13a??2???1?2?,解得a??1,?1?2.?1??4a0??1??1?????????由于A的特征多项式?E?A?(??2)(??5)(??4),所以A的特征值为2,5,?4.
1T属于特征值5的一个单位特征向量为（1，-1，1）;31T属于特征值?4的一个单位特征向量为（?1，0，1）211??1???32??6?2???1?2?T令Q???0?,则有QAQ??5?,故Q为所求矩阵。63????4???111????32??622.
解：因fX(x)??f(x,y)dy?A?e??2?????2x2?2xy?y2??dy?A?e?(y?x)????2?x2dy?Ae?x2?????e?(y?x)dy?A?e?x,???x???,??22所以1??fX(x)dx?A??e?xdx?A?,从而A???????1?.1
1当x?(??,??)时，fYX(yx)?1f(x,y)??1?x2fX(x)ee?2x2?2xy?y2??e?x2?2xy?y2???e?(x?y)2,???y???.23.解：
（1）随机变量（X，Y）的概率分布为： X Y 0 1 (2) 0 1/5 1/5 1 2/5 2/15 2 1/15 0 21211因为P{X?0}?,P{X?1}?,所以EX?0??1??。33333281因为P{Y?0}?,P{Y?1}?,P{Y?2}?,51515
28122所以，EY?0??1??2??.又E(XY)?.515153152124所以Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?????.153345
2011年考研数学三试题及解析
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) ．．．
(1) 已知当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。是等价无穷小，则( )
(A) 错误！嵌入对象无效。. (B) 错误！嵌入对象无效。. (C) 错误！嵌入对象无效。. (D) 错误！嵌入对象无效。. (2) 已知函数错误！嵌入对象无效。在错误！嵌入对象无效。处可导，且错误！嵌入，则对象无效。
=( )
错误！嵌入对象无效。
. (B)
错误！嵌入对象无效。
(A) 错误！嵌入对象无效。2
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。.
(C) 效。.
(3) 设(A) 若
是数列，则下列命题正确的是( )
错误！嵌入对象无效。
收敛，则收敛. (B) 若
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌. (D) 错误！嵌入对象无错误！嵌入对象无效。
收敛，则收敛.
入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(C) 若
收敛，则收敛. (D) 若
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌
收敛，则收敛.
入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(4) 设
，，，则错误！
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
嵌入对象无效。的大小关系是( )
(A) 错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。． (C) 错误！嵌入对象无效。． (D) 错误！嵌入对象无效。． (5) 设错误！嵌入对象无效。为3阶矩阵，将错误！嵌入对象无效。的第2列加到第1列得矩阵错误！嵌入对象无效。，再交换错误！嵌入对象无效。的第2行与第3行得单位矩
阵，记，
，则错误！嵌入对象无效。( )
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。(A)
． (B) ． (C)
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错
． (D) ．
误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(6) 设错误！嵌入对象无效。为错误！嵌入对象无效。矩阵，是
错误！嵌入对象无效。非齐次线性方程组错误！嵌入对象无效。的错误！嵌入对象无效。个线性无关的解，
错误！为任意常数，则错误！嵌入对象无效。的通解为( )
嵌入对象无效。
(A)
．
错误！嵌入对象无效。．
错误！嵌入对象无效。
(B) (D)
．
错误！嵌入对象无效。．
错误！嵌入对象无效。
(C)
(7) 设
，为两个分布函数，其相应的概率
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
密度，是连续函数，则必为概率密度的是( )
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(A) (C)
． (B) ．
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。． (D) ． 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
错
(8) 设总体错误！嵌入对象无效。服从参数为错误！嵌入对象无效。的泊松分布，误！嵌入对象无效。
为来自总体错误！嵌入对象无效。的简单随机样本，则对应的统计量
( )
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(A)
，． (B) ，
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
．
错误！嵌入对象无效。
(C)
，． (D) ，
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
．
错误！嵌入对象无效。
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．．(9) 设
，则 .
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(10) 设函数，则 .
错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
(11) 曲线(12) 曲线
在点处的切线方程为 .
错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，直线错误！嵌入对象无效。及错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
轴所围成的平面图形绕错误！嵌入对象无效。轴旋转所成的旋转体的体积为 .
(13) 设二次型
的秩为1，错误！嵌入对象无效。的各行元素之
错误！嵌入对象无效。
和为3，则错误！在正交变换错误！下的标准形为 ． 嵌入对象无效。嵌入对象无效。(14) 设二维随机变量
错误！嵌入对象无效。
服从正态分布
，则
错误！嵌入对象无效。
= ．
错误！嵌入对象无效。
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文．．．字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 求极限．
错误！嵌入对象无效。(16) (本题满分10分) 已知函数
错误！嵌入对象无效。
具有连续的二阶偏导数，
错误！嵌入对象无效。
.
错误！嵌入对象无效。
是错
的极值，，求
误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
(17) (本题满分10分) 求
.
错误！嵌入对象无效。
(18) (本题满分10分)
证明恰有2实根.
错误！嵌入对象无效。(19) (本题满分10分) 设函数错误！嵌入对象无效。在
有连续导数，错误！嵌入对象无
错误！嵌入对象无效。
，且, ，求的表达式. 效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。(20) (本题满分11分)
设向量组
，不能由向量组，
错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对
，线性表示．
象无效。错误！嵌入对象无效。
(I) 求错误！嵌入对象无效。的值；