1?x1?x21?x2?0，?1，所以?x?sinx?0， 当?1?x?0，有ln1?x1?x21?x21?xx2?cosx?1??0 故f?x??0，即得xln1?x2'1?xx2?cosx?1?,?1?x?1 可知，xln1?x2（19）【解析】：
1）特征方程为r?r?2?0，特征根为r1?1,r2??2，齐次微分方程
2f??(x)?f?(x)?2f(x)?0的通解为f(x)?C1ex?C2e?2x.再由f'(x)?f(x)?2xe得
2C1ex?C2e?2x?2ex，可知C1?1,C2?0。
故f(x)?e 2
）
曲
线
方
2x程
x2为
y?ex2?x0e?tdt2，则
y'?1?2xex2?x0e?tdt2，
y''?2x?2?1?2x?e?x0e?tdt
2令y''?0得x?0。为了说明x?0是y''?0唯一的解，我们来讨论y''在x?0和x?0时的符号。
2x当x?0时，2x?0,21?2xe?2??2x0e?tdt?0，可知y''?0；当x?0时，
22x?0,2?1?2x?e2x2?x0e?tdt?0，可知y''?0。可知x?0是y''?0唯一的解。
2同时，由上述讨论可知曲线y?f(x)x?x0f(?t2)dt在x?0左右两边的凹凸性相反，可知
?0,0?点是曲线y?f(x2)?f(?t2)dt唯一的拐点。
010（20）【解析】：（Ⅰ）
0aa1000a1001a0a000?1?01a?a?(?1)4?11a0?1?a4 a00101a1a001??1a??1a0?1??01?01a0??00??0010??0?a2（Ⅱ）
01??1a0??01a0?1????001a0??42?0001?a?a?a???1??0?0??a1??1???1??0?1a0??0??01?a??000a0a100a10a3???a0??1?a?a2?001?1
可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1?a?0及?a?a?0，可知a??1。
42?1?1001???01?10?1?，进一步化为行最简形得此时，原线性方程组增广矩阵为??001?10???00000???1??0?0??00??10?1?1?
01?10??0000?00?1?1??0??1??0?????????1?11?1可知导出组的基础解系为??，非齐次方程的特解为??，故其通解为k?????
?1??0??1??0?????????10?????1??0?线性方程组Ax?b存在2个不同的解，有|A|?0.
?即：
11A?0??10?(??1)2(??1)?0，得??1或-1.
11??111??x1??x???????当??1时, ?000??x2???0?，显然不符，故???1.
?111??x??1????3???
（21）【解析】：1）由r(AA)?r(A)?2可得，
T101011?a?1?0?a??1 ?10a?202??x1?????f?xTATAx??x1,x2,x3??022??x2?2）?224??x?
???3??2x12?2x22?4x32?4x1x2?4x2x3?202??? 则矩阵B??022?
?224?????2?E?B?0?20?2?2?????2????6??0
??2?2??4解得B矩阵的特征值为：?1?0;?2?2;?3?6
?1???对于?1?0,解??1E?B?X?0得对应的特征向量为：?1??1?
??1????1???对于?2?2,解??2E?B?X?0得对应的特征向量为：?2???1?
?0????1???对于?3?6,解??3E?B?X?0得对应的特征向量为：?3??1?
?2???将?1,?2,?3单位化可得：
?1??1??1?1??1??1???1?1???1??1? ，，23?????3??2??6???10?????2?Q???1,?2,?3?
（22）【解析】： X P Y P XY 0 1 2 4 0 1/3 1 1/3 2 1/3 0 1/2 1 1/3 2 1/6 P 7/12 1/3 0 1/12 （1）P?X?2Y??P?X?0,Y?0??P?X?2,Y?1??（2）cov?X?Y,Y??cov?X,Y??cov?Y,Y?
11?0? 44cov?X,Y??EXY?EXEY，
25452,EX2?1,EY?1,EY2?,DX?EX2??EX??1?? 33992522DY?EY2??EY???1?,EXY?
33322所以，cov?X,Y??0，cov?Y,Y??DY?，cov?X?Y,Y???,?XY?0.
33其中EX?（23）【解析】：
?e?x,x?0,?1?e?x,x?0,（1）X概率密度为f?x???分布函数为F?x???X和Y同
其它.?0,其它.?0,分布.
由V?min?X,Y?，FV?v??Pmin?X,Y??v?1?P?X?v,Y?v?， V?v??P????1?e?2v,v?0,而X,Y独立，故上式等于1?P?X?v?P?Y?v??1?? ?1?F?v?????0,其它.?2?2e?2v,v?0,故fV?v??FV??v???
其它.?0,?u?u??2?1?e?e,u?0,（2）同理，U的概率密度为：fU?u???
0,其它.??????13?u?uEU??u2?1?e?edu?，EV??v2e?2vdv?，
002231所以E?U?V??E?U??E?V????2.
22
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（1）当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）x?o(x)?o(x) （B）o(x)?o(x)?o(x) （C）o(x)?o(x)?o(x) （D）o(x)?o(x)?o(x)
222323222|x|x?1（2）函数f(x)?的可去间断点的个数为（ ）
x(x?1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
22（3）设Dk是圆域D?{(x,y)|x?y?1}位于第k象限的部分，记
Ik???(y?x)dxdy?k?1,2,3,4?，则（ ）
Dk（A）I1?0