（B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0
（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若an?an?1,则??(?1)n?1?n?1an收敛
（B）若?(?1)n?1?n?1an收敛，则an?an?1
（C）若?an?1nP收敛，则存在常数P?1,使limnan存在
n??（D）若存在常数P?1，使limnan存在，则
n??P?an?1?n收敛
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????
（6）矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为
?1a1??000?????
（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2,b为任意常数
（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),
22Pj?P{?2?Xj?2}(j?1,2,3),则（ ）
（A）P1?P2?P3
（B）P2?P1?P3 （C）P3?P1?P2 （D）P1?P3?P2
（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，
则P{X?Y?2}? ( )
1 121（B）
81（C）
61（D）
2（A）
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
2（9）设曲线y?f(x)和y?x?x在点(0,1)处有公共的切线，则
?n?limnf???________。 n??n?2??x（10）设函数z?z(x,y)由方程(z?y)?xy确定，则
?z?x(1,2)?________。
（11）求
???1lnxdx________。
(1?x)21y?0通解为y?________。 4（12）微分方程y???y??（13）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)= ________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）
设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算（18）（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分） 设函数f(x)在[0,??]上可导，f(0)?0且limf(x)?2，证明
x???n132x??dxdy。 DQ，（P1000（1）存在a?0，使得f(a)?1
（2）对（1）中的a，存在??(0,a),使得f'(?)?（20）（本题满分11分）
1. a?1a??01?设A???,B???，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，并求所有
101b????矩阵C。
（21）（本题满分11分） 设
二
次
型
f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?22，记
?a1??b1???????a,???2??b2?。
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；
（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型
2。 2y12?y2（22）（本题满分11分）
?3x2,0?x?1,设?X,Y?是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX?x???其他.，在给定?0,X?x?0?x?1?的条件下，Y的条件概率密度fYX（1） 求?X,Y?的概率密度f?x,y?； （2） Y的边缘概率密度fY?y?. （23）（本题满分11分）
?3y2,0?y?x,3?yx????x
?0,其他.???2???3ex,x?0,设总体X的概率密度为f?x???x其中?为未知参数且大于零，
?0,其它.?X1,X2，?XN为来自总体X的简单随机样本.
（1）求?的矩估计量；
（2）求?的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（1）当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）x?o(x)?o(x) （B）o(x)?o(x)?o(x) （C）o(x)?o(x)?o(x) （D）o(x)?o(x)?o(x) 【答案】D
【解析】o(x)?o(x)?o(x)，故D错误。
2222323222|x|x?1（2）函数f(x)?的可去间断点的个数为（ ）
x(x?1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C
【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,?1。又
xxxlim?0?f(x)??1exlnx?1xlnxxlim?0?x(x?1)lnx?xlim?0?x(x?1)lnx?xlim?0?x(x?1)lnx?1 (?x)xxlim?1exln(?x)?1xln(?x)?0?f(x)?xlim?0?x(x?1)ln(?x)?xlim?0?x(x?1)ln(?x)?xlim?0?x(x?1)ln(?x)?1 limx?1f(x)?limxx?1x?1x(x?1)lnx?limexlnx?1x?1x(x?1)lnx?limxlnxx?1x(x?1)lnx?12 xlim??1f(x)?xlim(?x)x?1??1x(x?1)ln(?x)?xlimexln(?x)?1??1x(x?1)ln(?x)?xlimxln(?x)??1x(x?1)ln(?x)?? 故f(x)的可去间断点有2个。
（3）设D是圆域D?{(x,y)|x2?y2k?1}位于第k象限的部分，Ik???(y?x)dxdy?k?1,2,3,4?，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【答案】B
【解析】令x?rcos?,y?rsin?，则有
? Ik???(y?x)dxd?y1?c?ros?)?dD0?r?dr(s?irn1??k3?(?co?s? sin)?故当k?2时，???22,???，此时有I2?3?0.故正确答案选B。 （4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ）
记