(n?m?1)n!?m?n!(n?m?1)!(n?1)! ?
[(n?1)?m]!??Pnm?1?右边 ∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。 n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。 例4．解方程P2z?1?140Px. 解：原方程可化为：
43?2x?1?4?x?3? ? ?
x?N???(2x?1)2x(2x?1)(2x?2)?140x(x?1)(x?2)?x?3? ? ?x?N
?(2x?1)(2x?1)?35(x?2)??x?3? ? ?x?N 解得x=3.
?2?4x?35x?69?0评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
一般方法有：直接法和间接法
（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪A=I且A∩A=?的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
特殊方法：
（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 （1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻； （4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排； （6）甲，乙，丙两两不相邻。 解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×P6=720种不同排法。
6 （2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有P5种，其余6人可任意排列有P6种，故共有P5·P6=3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有P6·P2=1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列P7中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有
761616217P7=2520种。 23 （5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有P5·P3=720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有P4·P5=1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数； （4）不含数字0，且1，2不相邻的数。 解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有P3种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有P4种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个
数的位置上，由乘法原理共有P3P4P4=388（个）。 （2）5的倍数：按0作不作个位来分类 第一类：0作个位，则有P5=120。
第二类：0不作个位即5作个位，则P4P4=96。 则共有这样的数为：P5+P4P4=216（个）。 （3）比20300大的数的五位数可分为三类： 第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3P5个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4P4个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3P3个，因此，比20300大的五位数共有： 3P5+4P4+3P3=474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有P3?P4=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为C6C4=24；第二类为圆上任取两点所得的直线条数为C4=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1=C6C4+C4+1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：
N2=N1-2C4=31-12=19（条）。
211344244411543113131333211222006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练 内容：三角函数的定义与三角变换 重点：任意角的三角函数定义 难点：三角变换公式的应用 内容安排说明及分析：
本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析： 一、三角函数的定义 1．角的概念
（1）角的定义及正角，负角与零角 （2）象限角与轴上角的表达 （3）终边相同的角 （4）角度制 （5）弧度制
2．任意角的三角函数定义
任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：
（1）三角函数的定义域
（2）三角函数值在四个象限中的符号 （3）同角三角函数的关系
（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式
总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
??3?“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：??，??）函数名称
222变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角
3?3?形式，有时也需要改变函数名称，如：sin?-icos?=cos(+?)+isin(+?)。
22“偶不变”是指所涉及的轴上角为
?的偶数倍时（包括5组：2k?+?, ???, 2?-?, -?）, 2函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
二、典型例题分析：
例1．（1）已知-
??
??
将-?的终边按逆时方向旋转?放到?-?的终边即-?的终边的反向延长线，此时?-?的终边也在第二象限。
思路2：是先把?的终边（第二象限）按顺时针方向旋转?，得到?+(-?)（第四象限），
再将它关于x轴对称得到-(?-?)=?-?的终边，此时也在第一象限。
k?k??例2．若A={x|x=, k?Z}, B={x|x=+, k?Z}, 则A _____B。
424k??(2k?1)??解：由B中的x=+=可视为的奇数倍所构成的集合。
2444k?? 而A中的x=是的所有奇数倍，因此A?B。
44例3．设0
k?解：由已知 5?=2k?+?, k?Z, 有?=，
233?∵ 0
221?cos?例4．若=ctg?-csc?，求?取值范围。
1?cos?cos?1cos??1解：先看一看右边=ctg?-csc?=-=，这样就决定了左边的变形方向。
sin?sin?sin?(1?cos?)2(1?cos?)21?cos?==，
1?cos?sin2?1?cos2??cos??1?0?cos??1cos??1， ∴ ????无解， ?sin??0sin??0sin?sin2???∴ 不存在这样的?使所给等式成立。
?2例5．已知sin(?-?)-cos(?+?)=,
323?3? 求：（1）sin?-cos?的值 （2）sin(+?)+cos(+?)的值 2222解：（1）由已知，得sin?+cos?=,平方得：1+2sin?cos?=,
397∴ 2sin?cos?=-,
9?∵
24∴ sin?-cos?=(sin??cos?)2=1?2sin?cos?=.
33?3?33
（2）sin(+?)+cos(+?)=cos?-sin?
2222
=(cos?-sin?)(cos?+sin?cos?+sin?) 47=-(1-) 31822=-. 27例6．已知sin(?-?)=2cos(?-2?),求下列三角函数的值：
sin(???)?5cos(2???)5（1） （2）1+cos2?-sin2?.
3??23sin(??)?cos(??)22解：由已知：-sin?=2cos?，有 tg?=-2, 则
∵
=
(1?cos?)2?sin??5cos??tg??57==-。 ?3?tg??3cos??sin?552
（2）1+cos?-sin2?
255sin2??2cos2??sin2?tg2??2??2tg?22== 222tg??1sin??cos?（1）原式=
(?2)2?2?5(?2)16==.
5(?2)2?1asin??bcos?评述：对于形如为关于sin?与cos?的一次分式齐次式，处理的方法，
csin??dcos?52
就是将分子与分母同除以cos?，即可化为只含tg?的式子。而对于1+cos?-sin2?属于
222
关于sin?与cos?的二次齐次式。即sin?+2cos?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用22
sin?+cos?表示的话，这样就构成了关于sin?与cos?的二次分式齐次式，分子分母同除以2
cos?即可化为只含有tg?的分式形式。
例7．求函数y=25?x2+logsinx(2sinx-1)的定义域。
??25?x?0??5?x?5???5???sinx?0(k?Z) 解：使函数有意义的不等式为：? ? ?2k???x?2k??66sinx?1?????2sinx?1?0?x?2k??(k?Z)?2?将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x?[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即
2
∴因此函数的定义域为：
3?3?7????5?[-5,-)∪(-,-)∪(,)∪(,)。
2266226sec??tg??11?sin?例8．求证：=.
sec??tg??1cos?证法一（左边化弦后再证等价命题）
1sin???11?sin??cos?cos?cos?左边==
1sin?1?sin??cos???1cos?cos?1?sin??cos?1?sin?要证 =
1?sin??cos?cos?只需证：(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?)
2
左边=cos?+sin?cos?+cos?
22
右边=1-sin?+cos?+cos?sin?=cos?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。
1?sin??cos?1?sin?或证等价命题：-=0
1?sin??cos?cos?