证法二（利用化“1”的技巧）
sec??tg??(sec2??tg2?)左边=
sec??tg??1=
?sec??tg??(1?sec??tg?)=sec?+tg?=1?sin?=右边。
sec??tg??1cos?证法三（利用同角关系及比例的性质）
22
由公式 sec?-tg?=1
?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1 sec??tg?1?=.
sec??tg?1sec??tg??11?sin?=sec?+tg?=.
1?sec??tg?cos?证法四（利用三角函数定义）
yyrx证sec?=, tg?=, sin?=, cos?=.
xrxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0
A(3)A=B?=1 (B?0)
BAC(4)=? AD=BC (BD?0)
BD(5)比例：一些性质，如等比定理：
aa?a2???ana1a2aaa若1=2=??=n，则1===??=n。
b1?b2???bnb1b2b1b2bnbn由等比定理有：
1．如果?是第二象限角，则限
2．在下列表示中正确的是（ ）
?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象
?, k?Z} 2?B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+, k?Z}
4??C、与(-)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-, k?Z}
33?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-, k?Z}
43logsin?3．若?
2A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+
A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc?
x?4．函数y=2sin(?)在[?，2?]上的最小值是（ ）
26A、2 B、1 C、-1 D、-2
5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6．设0 ?，下列关系中正确的是（ ） 4A、sin(sinx) ?3?47．若sin=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ） 5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） 1?11A、sin B、 C、 D、2sin 1226sin22k?169．化简三角函数式tg(?+?) (k?Z), 结果是（ ） 72??6??A、tg B、ctg C、ctg D、-tg 777710．设??(0, ??sin?tg?)，A??cos??，B??sec??的大小是（ ） 2A、A>B B、A≥B C、A 答案: B B D C D A D C B C 正、余弦函数的有界性在解题中的作用 正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。 例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。 解：原方程可化为sin??3?log2x， 23?log2x?1， 2因为?1?sin??1，所以?1?所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。 例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， 于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2 ?4。故?ABC为等腰直角三角形。 例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos2求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?CAC3?sin2?sin2? 3324A?C1?2A?1?2C?3??1?cos???1?cos?? 32?3?2?3?4所以cos?由于cos2A?CA?C1?A?C??coscos??0 ?334?3?A?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1??????0，但?cos???0， 所以?cos3232????A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。 所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a?6b?3，求证：对于任意x???1,1?，有 22f?x??2。 ?2?22?证明：因为2a?6b?3，所以??3a????令 2?2b?2?1。 2a?sin?，2b?cos?，则a?331sin?x?cos??2221sin?，b?cos? 32所以f?x???3x2?11?sin????????arctg? ??23x??从而f?x??3x2?1sin??????23x2?1 2又x?1，故f?x??3x?122?4?2 234例5．证明：1?证明：设 sin??cos??2。 34sin??cos??k，则只须证明1?k?2。 因为k2?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2???sin??cos??2?2sin2? 2sin2? 2因为0?sin2??1，所以1?k?2?2?22， 从而1?k?2。故1?34sin??cos??2。 34例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。 解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0， 所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k??k?2??2k?k?2?cos????? 22由题设知k?0，k?2， 2?k?2??k2?13?1?所以cos????????（＊） 22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?32?k?1??22?0， 解之得 13?k?。 221。 2由（＊）知，当k?1时，?cos??????min??又由（＊）及 1313?k?知，当k?、时，?cos??????min??1。 2222例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。 证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x， cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。 令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1 从而T?2K?，aT?2L?K,L为整数 所以a???aTL?。 TK此时K，L为整数，则 L为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题成立。 K 1．（2002年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。 5??,)?(?,) B、(,?) 4244?5??5?3? C、(,) D、(,?)?(,) 44442 A、(解：在(?????5?,)内，sinx>cosx，在[,?]内sinx>cosx；在(?,)内，sinx>cosx；综422400上，∴ 应选C。 2．（2001年全国） tg300?ctg405的值为（ ）。 A、1?3 B、1?3 C、?1?3 D、?1?3 解：tg300?ctg405 00?tg(3600?600)?ctg(3600?450) ??tg60?ctg4500 ??3?1∴ 应选B。 3．（1998年全国）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ） 5???5?) B、(,)?(?,) 244424?3?5?3???4? C、(,)?(,) D、(,)?(,?) 2442423?sin??cos??0?sin??cos???解：由题设，有?tg??0 ???3? ??(0,)?(?,)?0???2??22?? A、(?3?,)?(?, 在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在??(?5?4,4)时，sin?>cos?。 ∴??(??5?,)?(?,) 424