应选B。 4．（1998年全国）sin600?的值是（ ）。 A、
3311 B、? C、 D、?
2222解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240?
=sin(180?+60?)=-sin60? =? ∴应选D。
3 22006年考前必练数学创新试题 数列经典题选析
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.
一、等差数列与等比数列
例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B． 解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．
nn－1n－1
由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)>0，得 当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1． 从而可知 A＝{q | 0
nn－1n－1
若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)＜0，得 当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1． 亦可知 B＝{q | 0
说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！
22n－1
例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋2)，??，(1＋2＋2＋??＋2)，??前n项的和．
分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋2＋??＋2－1．从而该数列前n项的和
23n
Sn＝(2－1)＋(2－1)＋(2－1)＋?＋(2－1)
2·(1－2)n＋1
＝(2＋2＋2＋?＋2)－n＝ －n＝2－n－2．
1－2
2
3
n
n
2
n－1
1·(1－2)n＝ ＝2
1－2
n
说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?q3、 Sn??k?2n(n?1)
k?1nn14、Sn?12k?n(n?1)(2n?1) ?6k?15、 Sn?132 k?[n(n?1)]?2k?1n常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；
分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。
1
例3．已知等差数列{an}的公差d＝ ，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋??＋a99，S＇
2＝a3＋a6＋a9＋??＋a99，求S奇、S＇．
解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，
即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．
(a1＋a100)100
又由S100＝145，得 ＝145，故得a1＋a100＝2.9
2S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99 ＝
(a3＋a99)33(a2＋a100)33(0.5＋a1＋a100)33(0.5＋2.9)33
＝ ＝ ＝ ＝1.7·33＝2222
56.1．
说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！
例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 （1）求证：数列{an}不是等比数列；
（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋?＋anSn，|q|<1，求limbn。
n??解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q。
n－1n－2
∴Sn＝bq，∴Sn－1＝b·q(n≥2)。
n－1n－2n－2
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bq－bq＝b·(q－1)·q an＋1b(q－1)·q
故当q≠1时， ＝n－2 ＝q，
anb(q－1)·qa2b(q－1)
而 ＝ ＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 a1b
当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。 综上所述，{an}不是等比数列。
（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，?，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，
2
a3S3，?，anSn是公比为q的等比数列。
2242n－4
∴bn＝b＋a2S2·(1＋q＋q＋?＋q) ∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b
2
∴a2S2＝bq(q－1)
1－q
∴bn＝b＋bq(q－1)·2 1－q
2
2
2n－2
n－1
∵|q|<1 ∴limq
n??2n－2
＝0
2
2
2
1b
∴limbn＝b＋bq(q－1)· 2 ＝
1－q1＋qn??说明： 1＋q＋q＋?＋q的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时
要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。
二、数列应用题
例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，1
并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 .本
5年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游1
业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总
4收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 15
解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－ )万元??，
541n－1
第n年投入800×(1－ )万元
5
11n－14n所以总投入an＝800＋800(1－ )＋??＋800×(1－ )＝4000［1－( )］
5551
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋ )万元，??，
41n－1
第n年收入400×(1＋ )万元
4
2
4
2n－4
bn＝400＋400×(1＋ )＋??＋400×(1＋ )n－1＝1600×［( )n－1］
5n4n(2)∴bn－an＞0，1600［( )－1］－4000×［1－( )］＞0
454n5n化简得，5×( )＋2×( )－7＞0?
54
4n24n22
设x＝( )，5x－7x＋2＞0? ∴x＜ ，x＞1(舍)? 即( )＜ ，n≥5.?
5555
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知
识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
141454
3
(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝ ，经过n年绿化总面积为an＋1
10
44
求证an＋1＝＋ an
255
(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ (1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%
44
即an＋1=80% an +16%= an +
525
44
(2)解：由an＋1= an+可得：
525
4444244n4an＋1－ = (an－ )=( )(an－1－ )=?=( )(a1－ )
5555555
14n4314n4314n－1
故有an＋1＝－ ( )＋ ，若an＋1≥ ，则有－ ( )＋ ≥ 即 ≥( )
2555255525
两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)
lg2
故n≥ ＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，
1－3lg2
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
三、归纳、猜想与证明
12
例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝ (n＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，
2且bn＝an－an－1－1(n≥2).
(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;
112
解：（1）∵Sn＋an＝ (n＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝ (1＋3×1－2)＝1，
22
1111712
∴a1＝ ＝1－ .当n＝2时，有 ＋2a2＝ (2＋3×2－2)＝4， ∴a2＝ ＝2－2
2222421
猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－n 2(2)若cn＝b1＋b2＋?＋bn，求limcn的值.
n??17231
当n＝3时，有 ＋ ＋3a3＝8， ∴a3＝＝3－.3
2482用数学归纳法证明如下：
11
①当n＝1时，a1＝1－ ＝ ，等式成立.
221
②假设n＝k时，等式ak＝k－k 成立，那么
2
(k＋1)＋3(k＋1)－2k＋3k－2
n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[ －ak＋1]－[ －ak],
221
.∴2 ak＋1＝k＋2＋ak， 2 ak＋1＝k＋2＋(k－k )，
2
2
2
1
∴ak＋1＝(k＋1)－k＋1 ，即当n＝k＋1时，等式也成立.
21
综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－n 成立.
2
1111
(2)∵b1＝a1＝ ，bn＝an－an－1－1＝[n－n ]－[(n－1)－n－1 ]－1＝n .
22221n1n
∴cn＝b1＋b2＋?＋bn＝1－( )， ∴limcn＝lim[1－( )]＝1.
22n??n??
例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1) an2
＋an an＋1－n an＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..??
(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；? (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn；? (Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an ．
(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0， ∴ (n＋1)(
an2an
)＋()－n＝0． an＋1an＋1
∴
anann＝－1或＝ ． an＋1an＋1n＋1
ann
＝ ． an＋1n＋1
∵an＞0（n∈N），∴
ananan－1an－2a3a2nn－1n－232∴＝···??··＝ · · ·?· · ＝a1an－1an－2an－3a2a1n－1n－2n－321n．
又a1＝2,所以，an＝2n．
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋??＋an＝2(1＋2＋3??＋n)＝n2＋n． (Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，?
∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋??＋bn＝20＋21＋22＋??＋2n－1＋n＝2n＋n－1 (Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1．? 当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1；