【点评】本题考查了解方程的方法﹣配方法、公式法、因式分解法，熟练掌握解方程的三种方法是解题的关键．
18．（10分）（2017秋?鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入x=1可得出m2+2m=0，将其代入m2+2m+2017中即可求出结论． 【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当x=1时，m2+2m=0， ∴m2+2m+2017=0+2017=2017．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=1找出m2+2m=0．
19．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．
【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE=BE，再由垂径定理可知CE=DE，故可得出结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB，
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∵OA=OB， ∴AE=BE， 又∵在⊙O中， ∴CE=DE， ∴AC=BD．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
20．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．
（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为 16﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）求（1）中x的值．
【分析】（1）由篱笆的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可求出平行于墙的一边的长度；
（2）根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm， ∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m． 故答案为：16﹣2x．
（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30， 整理，得：x2﹣8x+15=0， 解得：x1=3，x2=5． 答：x的值为3或5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据篱笆的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的
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面积公式列出一元二次方程．
21．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．
【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3）， ∴解得：
， ，
所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0， 解得：x1=﹣，x2=2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．
22．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE． 求证：DB=DC．
【分析】由同弧所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠DBC，结合角平分线的性质可得出∠EAD=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可得出∠EAD=∠BCD，进而可得出∠DBC=∠DCB，再根据“等角对等边”即可证出DB=DC． 【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC． ∵AD平分∠CAE，
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∴∠EAD=∠DAC， ∴∠EAD=∠DBC．
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAD=∠BCD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及角平分线的性质，根据圆内接四边形的性质结合角平分线的性质，找出∠DBC=∠DCB是解题的关键．
23．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？
【分析】等量关系为：（44﹣降价的价钱）×（20+降价后增加的双数）=1600，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设每双应降价x元． （44﹣x）×（20+5x）=1600， 解得x1=4，x2=36．
答：每双应降价4元或36元．
【点评】找到利润的等量关系是解决本题的关键；难点是得到降价后一共卖出的量．
24．（10分）（2017秋?鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．
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【分析】（1）欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）先得出△OAD是等腰直角三角形，再利用阴影部分的面积等于△OAD的面积减去扇形ODE的面积解答即可． 【解答】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）； 又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等）， ∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线； （2）∵AC⊥OD，∠A=45°， ∴△OAD是等腰直角三角形， ∵AD=1， ∴△OAD的面积=∵∠DOE=45°， ∴扇形ODE的面积=∴阴影部分的面积=
．
，
．
【点评】本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（8分）（2017秋?鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．
（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．
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