错误！未找到引用源。解:(1)在数列{an}中,取n?1,则
a1?a3?2?a2,不满足条件①,2所以数列{an}不具有“m性质”;
在数列{bn}中,b1?1,b2?3,b3?2,b4?3,b5?1,则
b1?b3?3?23?2b2,b2?b4?23?4?2b3,b3?b5?3?23?2b4,所以满
足条件①;bn?2sinn??2(n?1,2,3,4,5)满足条件②,所以数列{bn}具有“性质6m”
(2)因为数列{cn}是各项为正数的等比数列,则公比q?0, 将c3?cc3172代入S3?3得,6q?q?1?0, ??c?324q4q11或q??(舍去), 2311所以c1?1,cn?n?1,Sn?2?n?1
22解得q?
对于任意的n?N,
*Sn?Sn?2111?2?n?n?2?2?n?Sn?1,且Sn?2 2222所以数列数列{Sn}具有“m性质”
M?2
(3)由于dn?3t?tn?1t(n?1)?1t(n?2)?1d?3t?d?3t?,则, n?1n?22n2n?12n?2*由于任意n?[3,??]且n?N,数列{dn}具有“性质m”,所以dn?dn?2?2dn?1
tn?1t(n?2)?1t(n?1)?1??2?,化简得,t(n?2)?1 nn?2n?12221*即t?对于任意n?[3,??)且n?N恒成立,所以t?1①
n?2tn?1t(n?1)?1t(n?1)?1dn?1?dn?n?=由于n?3及①,所以dn?1?dn n?1n?1222tn?1即n?3时,数列{dn}是单调递增数列,且limdn?lim(3t?n)?3t
n??n??2只需3t?9,解得t?3②
由① ②得1?t?3,所以满足条件的整数t的值为2和3. 经检验t?2不合题意,舍去,满足条件的整数只有t?3
即
错误！未找到引用源。 【解析】⑴设a1?2k,a2?k,则:2k?a3?2k,a3?0
分两种情况: k是奇数,则a3?若k是偶数,则a3?a2?1k?1??0,k?1,a1?2,a2?1,a3?0 22a2k??0,k?0,a1?0,a2?0,a3?0 22⑵当m?3时,a1?2m?3,a2?2m?1?1,a3?2m?2,a4?2m?3,
a5?2m?4,?,am?2,am?1?1,am?2???an?0
∴Sn?Sm?1?1?2???2m?4?2m?3 ⑶∵n?1?log2a1,∴n?1?log2a1,∴2n?1?a1
?an,a是偶数?a?2n?n 由定义可知:an?1???an?1,a是奇数2n??2∴
an?11? an2
∴an?∴an?anan?1a1????2?a1?n?1a1 an?1an?2a121n?1?2?1 n?12∵an?N,∴an?0,
综上可知:当n?1?log2a1(n?N)时,都有an?0
错误！未找到引用源。 (14分)解:(1)?z1?a1?b1?i?1?i,?a1?1,b1?1.
得
由
zn?1?2zn?zn?2i?a?3an an?1?bn?1?i?2(an?bn?i)?(an?bn?i)?2i?3an?(bn?2)?i,??n?1?bn?1?bn?2?数列?an?是以1为首项公比为3的等比数列,数列?bn?是以1为首项公差为2的等差
数列,?an?3n?1,bn?2n?1 (2)①由(1)知an?3n?1,?akak?1?32,?数列?anan?1?是以3为首项,公比为32的等
ak?1ak3(1?32n)32n?13???
1?988比数列. ?a1a2?a2a3???anan?1?②当n?2k,k?N时,
b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?1?(b1b2?b2b3)?(b3b4?b4b5)???(b2k?1b2k?b2kb2k?1)??4b2?4b4???4b2k??4(b2?b4???b2k)??4?k(b2?b2k)??8k2?4k??2n2?2n2?当n?2k?1,k?N时,b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?1
?(b1b2?b2b3)?(b3b4?b4b5)???(b2k?1b2k?b2kb2k?1)?b2k?1b2k?2??8k?4k?(4k?1)(4k?3)?2n?2n?1又n?1也满足上式
22
?b1b2?b2b3?b3b4?b4b5???(?1)n?1bnbn?12??2n?2n?1当n为奇数时 ??2???2n?2n当n为偶数时
错误！未找到引用源。解:(1)令n=1,则a1=S1=
1(a1?a1)=0 ; a3=2; 2(2)由Sn?n(an?a1)na(n?1)an?1,即Sn?n, ① 得 Sn?1?. ② 222②-①,得 (n?1)an?1?nan. ③ 于是,nan?2?(n?1)an?1. ④ ③+④,得nan?2?nan?2nan?1,即an?2?an?2an?1 又a1=0,a2=1,a2-a1=1,
所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,an=n-1
法二②-①,得 (n?1)an?1?nan. ③
于是,
an?1aaaa?n,?n?n?1???2 nn?1n?1n?21?an?1 所以,an=n-1. n?1(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列, 则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列, 于是,
2p1q?? 3p33q2p1?)(☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 3p32(p?1)2p2?4p?p?p?1<0, p?1333所以,q?3q(当p≥3,且p∈N*时,故数列{于是
2p}(p≥3)为递减数列 3p2p12?31?≤3?<0,所以此时方程(☆)无正整数解
333p3综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列
错误！未找到引用源。 (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6
分)
解:(1)因为a,b,c是互不相等的正数,所以q?0且q?1. 由已知,a,b,c是首项为,公比为q的等比数列,则b?q,c?q,
当插入的一个数位于b,c之间, 设由4个数构成的等差数列的公差为d,则
2?q?1?d2,消去d得2q?3q?2?0, ?2?q?1?3d
因为q?1,所以q?2
(2)设所构成的等差数列的公差为d,由题意,d?0,共插入4个数.
若在a,b之间插入个数,在b,c之间插入3个数,则?于是
?b?a?2d,
c?b?4d?b?ac?b2,2b?2a?c?b,q?3q?2?0,解得q?2 ?24若在a,b之间插入3个数,在b,c之间插入个数,则?于是
?b?a?4d,
?c?b?2db?ac?b1
,2c?2b?b?a解得q?(不合题意,舍去) ?422
若a,b之间和b,c之间各插入2个数,则?解得q?1(不合题意,舍去)
?b?a?3d,b?a?c?b,
?c?b?3d综上,a,b之间插入个数,在b,c之间插入3个数 (3)设所构成的等差数列的公差为d,
b?ab?c,又c?b?(t?1)d,d?, s?1t?1b?ac?bq?1q(q?1)t?1所以,即,因为q?1,所以???q
s?1t?1s?1t?1s?1由题意,b?a?(s?1)d,d?所以,当q?1,即a?b?c时,s?t;当0?q?1,即a?b?c时,s?t.
错误！未找到引用源。