函数与方程、函数模型及其应用
1x1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝()－x ，在下列区间中，含有函数f(x)零
2点的是( )
1
A．(0，)
31
C．(，1)
2[答案] B
1111
1131311213
[解析] f(0)＝1>0，f()＝() －() >0，f()＝() －() <0，
32322211
∵f()·f()<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，
3211
∴函数f(x)在(，)内有零点．
32
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．
2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象，∵lne＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．
11
B．(， )
32D．(1,2)
13
(理)(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点 C．有且仅有两个零点 [答案] B
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图象，如图，由于x>1时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.
1?x?3．(文)函数f(x)＝??－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( ) ?2?A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B
?1?x[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝??与y＝sinx的图象，易知两函数图象在
?2?
[0,2π]内有两个交点．
(理)(2011·深圳一检)已知函数f(x)＝x＋2，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零
x
点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1 [解析] 令f(x)＝x＋2＝0，因为2恒大于零，所以要使得x＋2＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx<0，解得0 4．(2012·河南六市模拟)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x??log3∈[－1,1]时，f(x)＝x，函数g(x)＝?x??2 2 B．x2 xxxx－1 x>1x≤1 ，则函数h(x)＝f(x)－g(x) 在区间[－5,5]内的零点的个数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 [答案] B [解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x，∴f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点． x2 5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f(x)＝x－4x－x＋4不存在零点的区间是( ) A．[0,1] B．[1,2] 3 2 C．[2,3] [答案] C D．[3,4] [解析] ∵f(0)＝4，f(1)＝0，f(3)＝－8<0，f(4)＝0，f(2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C. [点评] 注意，不能由f(2)＝－6<0，f(3)＝－8<0，做出判断f(x)在区间[2,3]内无零点． 6. 如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、 CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6?2?3?4，且运矿费用与路 程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( ) A．P点 B．Q点 C．R点 D．S点 [答案] B [解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设si(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在 Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×3＋2a×2＋3a＋4a×2 ＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少． 7．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) [答案] 9 [解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识． ∵f(x)＝x＋ax＋b＝(x＋)＋b－的最小值为b－，∴b－＝0，即b＝，∴f(x) 24444＝(x＋). 2 ∴f(x) 2∴c>0且－－c 22 2 2 2 a2 a2a2a2a2 a2 a2 aa ∴(－＋c)－(－－c)＝6，∴2c＝6，∴c＝9. 22 8．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)． aa [答案] 2500m 200－x200－x[解析] 设所围场地的长为x，则宽为，其中0 ≤?＝2500m，等号当且仅当x＝100时成立． ?24?? 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场 2 d(km)(d<200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中 以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n的值为________. 作物 项目 市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg·km) 单位面积相对产量(kg) [答案] 50 [解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、 水果 8 3 0.06 10 蔬菜 3 2 0.02 15 稻米 2 1 0.01 40 甘蔗 1 0.4 0.01 30