【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
25．（10.00分）（2018?哈尔滨）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：
，
解得：
，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180， 解得：x≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
26．（10.00分）（2018?哈尔滨）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在且DA平分∠EDF．
（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当
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上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，
BP=HF时，求证：BE=HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．
【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠F=∠A=90°， ∴∠F=∠ABC， ∵DA平分∠EDF， ∴∠ADE=∠ADF， ∵∠ABE=∠ADE， ∴∠ABE=∠ADF，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF， ∴∠CBE=∠DHG；
（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，
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∵∠F=90°， ∴HF⊥FD， ∵DA平分∠EDF， ∴HM=FH， ∵FH=BP， ∴HN=BP， ∵KH∥BN， ∴∠DKH=∠DLN， ∴∠ELP=∠DLN， ∴∠DKH=∠ELP， ∵∠BED=∠A=90°， ∴∠BEP+∠LEP=90°， ∵EP⊥BN，
∴∠BPE=∠EPL=90°， ∴∠LEP+∠ELP=90°， ∴∠BEP=∠ELP=∠DKH， ∵HM⊥KD，
∴∠KMH=∠BPE=90°， ∴△BEP≌△HKM， ∴BE=HK；
（3）解：如图3，连接BD， ∵3HF=2DF，BP=FH， ∴设HF=2a，DF=3a， ∴BP=FH=2a，
由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°， ∵∠F=∠A=90°，
∴tan∠HDM=tan∠FDH， ∴
=
=，
∴DM=3a，
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∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE， ∴∠DBF=∠BDE， ∵∠BED=∠F，BD=BD， ∴△BED≌△DFB， ∴BE=FD=3a，
过H作HS⊥BD，垂足为S， ∵tan∠ABH=tan∠ADE=∴设AB=3∴BD=
m，AH=2
=， m，
m，
AB=6m，DH=AD﹣AH=
=
，
∵sin∠ADB=∴HS=m， ∴DS=
=m，
∴BS=BD﹣DS=5m， ∴tan∠BDE=tan∠DBF=
=，
=，
∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE=∵BP=FH=2a， ∴RP=10a，
在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD， ∴△BET≌△HKD， ∴∠BTE=∠KDH， ∴tan∠BTE=tan∠KDH， ∴
=，即PT=3a，
∴TR=RP﹣PT=7a， ∵S△BER﹣S△DHK=，
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∴BP?ER﹣HM?DK=，
∴BP?（ER﹣DK）=BP?（ER﹣ET）=， ∴×2a×7a=， 解得：a=（负值舍去）， ∴BP=1，PR=5， 则BR=
=
．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
27．（10.00分）（2018?哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣四边形ABCD为菱形．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．
x+
与x轴、y轴分别交于B、C两点，
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