第一章 光的干涉 课后习题解答
21 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝间距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：
解：设单缝衍射传播到观察屏上P的光振幅为a，三束衍射光的实际光程差如图为dsin?和2dsin?，相位差为??和2??，可做出通过三缝光矢量的矢量图，将三矢量分解：
Ax?a?acos???acos3??
Ay?0?asin???asin3??
三缝衍射的光强度为：
222I?Ax?Ay?a[3?2(cos???cos2???cos3??)]
sin?bsin???其中： a?a0?bsin? ???2??dsin?
即有：I?I0sin2cu[3?2(cos2v?cos4v?cos6v)] 式中：u??bsin?? v??dsin??
22 一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长λ=500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm，试问第一级主最大的方向改变了多少？
解：玻璃片的劈尖角A：
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第一章 光的干涉 课后习题解答
1?0.5200tgA??0.025
A?1.43
平行光经过劈尖后的偏向角：
?0?(n?1)A?0.0125rad
未加劈尖时的光栅方程：dsin??j? 代入数据解出第一级主最大的传播方向： +1级谱线的衍射角：??1?17.460 -1级谱线的衍射角：??1??17.460
插入劈尖后，光栅方程为：d(sin???sin?0)?j?
?1?16.710 +1级谱线的衍射角：??-1级谱线的衍射角：??1??18.210 所以两谱线的方向改变了：45?或?45?
23 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成θ0角，在和法线成110和530角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。（1）试求入射角；（2）试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧能观察到二级谱线？
解：（1）在图中若入射光与衍射光在法线同侧
有： d(sin??sin?0)?j?
若在异侧，有： d(sin???sin?0)?j?
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第一章 光的干涉 课后习题解答
两式相减得到： sin?0?12(sin???sin?)
将数据??110、???530代入，解得：?0?17.70
（2）入射光与衍射光在法线两侧时，有：d(sin??sin?0)?j? 对j=1级谱线，
?d?sin?1?sin?0
对j=2级谱线，其衍射角解出：
sin?2?sin?0?20?d?sin?0?2(sin?1?sin?0)
0?2sin53?sin17.7?1.29?1
说明在法线两侧时，不能看到二级谱线。
入射光与衍射光在法线同侧时，有：d(sin??sin?0)?j?
同理解出二级谱线的衍射角：sin?2?0.6855?1，可观察到二级谱线。
第三章 几何光学的基本原理
1 证明反射定律符合费马原理。
证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A点射向界面经反射B点，在分界面上的入射点为任意的C点；折射率分别为：n1、n2。
（1）过A、B两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X轴，过C点做X轴的垂线，交X轴于C＇点，连接ACC＇、BCC＇得到两个直角三角形，其中：AC、BC为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A点经C点传播到B点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C＇点，即证明了入射光线A C＇和反射光线B C＇
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第一章 光的干涉 课后习题解答
共面，并与分界面垂直。
（2）设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），C点坐标为（x，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A传播到B的光程：
??n1((x?x1)?y1?22(x2?x)?y2)22
若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：
d?dx?x?x1(x?x1)?y221?x2?x(x2?x)?y222?0
从图中得到：sin??x1?x(x?x1)?y221 sin???x2?x(x2?x)?y222
也即：sinθ=sinθ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。
2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。 解：
3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm，求PQ的象P＇Q＇与物体之间的距离d2。
解：方法一
P＇Q＇是经过两个平面折射所形成的象 （1）PQ经玻璃板前表面折射成象：
设PQ到前表面的距离为s1，n=1、n＇=1.5 由平面折射成象的公式：s1??n?3?s1 得到：s1?s1 n2（2）PQ经玻璃板前表面折射成象：
从图中得到：s2=s1+d、n=1.5、n＇=1 根据：s2??n?ns2
?s1?23d解出最后形成的象P＇Q＇到玻璃板后表面的距离：s2?物PQ到后表面的距离：s=s1+d
物PQ与象P＇Q＇之间的距离d2：d2 = s2＇-s =（1?23
）d=10cm
方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。
方法三：直接应用书中例题的结论：d2 =d（1-1/n）即得。
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第一章 光的干涉 课后习题解答
4 玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。
解：（1）根据公式：nsin?sin?0?A2A2
代入数据：A=600，n=1.6
解出最小偏向角：θ0= 46016＇
（2）因：?0?2i1?A 则入射角：i1?(?0?A)/2?3535?0
（3）若能使光线从A角两侧透过棱镜，则出射角i1＇=900 有：n sini2＇= 1 sin900 = 1 解出：i2＇=38.680 从图中得到：i2 + i2＇= A 得到：i2 =21.320 又有：sini1 = nsini2
解出最小入射角：i1 =35034＇
5 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r，求证：如果sinθ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i与r相互垂直。
解：当光线以θ1角在A点入射时，设折射角为α，
根据折射定律有：sinθ1 = nsinα 因：sinθ1 = n/2 计算得到：α= 300 在C点的入射角为β，从图中可看出：β= 030
有：sinθ2 = nsinβ 得到：sinθ2 = n/2
因：sinθ1 = sinθ2 = n/2 所以：θ1 = θ2
在三角形ADE中，∟ADE=1800 -θ1 -（900 -θ2）= 900 说明光束i与r相互垂直。
6 高为5cm物体放在距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路图。
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