【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。 （2）AC∥EF，理由如下：
连接GD，如答图2所示。 ∵KG=KD?GE，∴
2
KGKD。 ?GEKG又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。 ∴∠E=∠AGD。
又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。 （3）连接OG，OC，如答图3所示。 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=
∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH+HK=AK，即（3t）
2
2
2
2
3。 5+t=（25），解得t=2。
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH+CH=OC，即（r﹣3t）+（4t）=r，解得r=∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。 在Rt△OGF中，OG=r=2
2
2
2
2
2
22
2525t= 2。6625CH42，tan∠OFG=tan∠CAH=?， 6AH3- 11 -
252OG25?6?2。 ∴FG=
4tan?OFG83【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。
【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。
（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及
KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。
（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定
理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。
2. （2012四川乐山10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G． （1）求证：OF?DE=OE?2OH；
（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
- 12 -
【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
FOOE，然后由O=ADDE是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF?DE=OE?2OH。
（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由
FOOE，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可=ADDE求得BH的长，又由
S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。
3. （2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：
PA?2； PB（2）若PQ=2，试求∠E度数．
- 13 -
【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2，∴PC=4，PD=22。
∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。
∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2
中，∠PBA=∠PDC，
PAPC4PAPB???2。 ?，即
PBPD22PCPDPQ1（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=∴∠CPQ=60°。 ?。
PC2PQ2∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=22，PQ=2，∴sin∠PDQ=。?PD2∴△PAB∽△PCD。∴
∴∠PDQ=45°。
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。
又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。 答：∠E的度数是75°。
【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出
（2）由cos∠CPQ=
理，得出
∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。
4. （2012四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线．
- 14 -
PAPC4PAPB ???2。?，从而
PBPD22PCPDPQ1，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定?，求出∠CPQ=60°
PC2（2）若BC=25，sin∠BCP=55，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴2∠BCP+2∠BCA=180°。
∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。
又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。 （2）如图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。 ∵C=25，sin∠BCP=55 ∴sin?BCP?sin?DBC?DCDC5BC?25?5，解得：DC=2。∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。 （3）如图，连接AN，
在Rt△ACN中，AC=CNsin ?DBC =CNsin ?BCP= 55=5，
5又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。 ∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。 ∴
BDAD4PC?AC，即PC?35。∴PC?203。 2在Rt△ACP中，AP?AC2+PC2?52+??20?25?3???3。
∴△ACP的周长为AC?CP?AP?5+20253+3?20。 - 15 -