【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中
∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用
sin?BCP?sin?DBC?离为4。
DCDC5求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距??BC255（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长。
5. （2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作
⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC是⊙O的切线.
（2）若AF=1，OA=22，求PC的长.
【答案】解：（1）证明：连结OC，
? ∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。
?∴∠FAC=∠FCA。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。
∴∠FCO=∠FAO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。 （2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。
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而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴∵CO=OA=22，AF=1，∴PC=22PA 。 设PA=x，则PC=22x
PAAF。 ?PCCO在Rt△PCO中，由勾股定理得，(22x)2?(22)2?(x?22)2 ，解得：
x?42。 7∴PC?16。 7【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。
（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。
6. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相
切于点E，AD ⊥CD
（1）求证：AE平分∠DAC； （2）若AB=3，∠ABE=60°，
①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。
【答案】解：（1）证明：连接OE。
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。
∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。 ∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。
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∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。 （2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。
∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。 ∵AB=3
，
∴
在
Rt△ABE
中
，
A?E?A在
32B?，32c?中
3o?
s21?3203AE=
?3332，
?BRt△ADE，∵∠DAE=30°，
∴AD?AE?cos30??3339??。 224，
②∵∠EAO=∠AEO=30°
∴?AOE?180???EAO??AEO?1800?300?300?1200。
∵OA=OB，∴S?AOE?S?BOE?∴S阴影?S扇形AOE?S?AOE21 S?ABE。 21?S扇形AOE? S?ABE
2?3?120????? ?2? ?1?1?33?3 ?3??93。 ?3602222416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故
∠DAE=∠AEO，
再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。
（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定
义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知
S?AOE?S?BO?E1 S?2A求B E出△AOE的面积，由S阴影?S扇形AOE?S?AOE即可得出结论。
7. （2012四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，
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直线CF交AB的延长线于G. ⑴求证：AE·FD=AF·EC； ⑵求证：FC=FB；
⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.
【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。
∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。 ∴
AEEC。∴AE?FD=AF?EC。 ?AFFDCEAEEH。 ??DFAFBF（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴
∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。
（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。
∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。 ∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。 ∵FB⊥AG，∴AB=BG。 连接OC，BC，
∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。 ∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC ∴∠FCB=∠CAB。
∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即
OC⊥CG。
∴CG是⊙O切线。
∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）
2
=BG×AG=2BG，
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2
【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF，∴FG﹣4FG﹣12=0。 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。
由勾股定理得：AB=BG=62?22=42。 ∴⊙O的半径r是22。
【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。
（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上
中线性质得出CF=DF=BF即可。
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，
求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）
2
2
2
2
2
=BG×AG=2BG，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，
22222
求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到⊙O的半径r。
8. （2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。 （1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。
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