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www.jyeoo.com ， ∵P、Q为不同的两点，∴， 即，∴解得 ， ∴…（12分） 即， ∵0＜k＜1， ∴即 ，2点评： ∴m＞0且m≠1…（14分） 本题重点考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定k的范围，找出k，m的关系，综合性强 12．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：A1（3，﹣2
）、A2（﹣2，0）、A3（4，﹣4）、A4（
，
）．
（Ⅰ）经判断点A1，A3在抛物线C2上，试求出C1、C2的标准方程；
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www.jyeoo.com （Ⅱ）求抛物线C2的焦点F的坐标并求出椭圆C1的离心率； （Ⅲ）过C2的焦点F直线l与椭圆C1交不同两点M，N，且满足，试求出直线l的方程．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），设C1：，（a＞b＞0），利用待定系数法能求出C1、C2的标准方程． （Ⅱ）由C1、C2的标准方程，能求出抛物线焦点坐标和椭圆的离心率． （III）设直线l的方程为x﹣1=my，两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，由此利用韦达定理和向量知识能求了l的方程． 解答： 解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0）， 则有（x≠0），∵A1（3，﹣2）、A3（4， ?2010-2014 菁优网
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﹣4）在抛物线上，…（2分） 将A3坐标代入曲线方程，得C2：y2=4x．…（3分） 设C1：，（a＞b＞0）， 由题设知A（﹣22，0）、A4（，）在C1上，把点A2（﹣2，0），A4（，）代入得： ，解得， ∴C1方程为．…（6分） （Ⅱ）∵C2：y2=4x，∴p=2， ∴抛物线焦点坐标为F（1，0）；由（Ⅰ）知，C1：， ∴a=2，， ∴椭圆的离心率为．…（8分） （ III）直线l过抛物线焦点F
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（1，0）， 设直线l的方程为x﹣1=my，两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，…（10分） ∴y1+y2=，y1y2=，① =1+m?+m2?=，②…（12分） 由，即， 得x1x2+y1y2=0，（*） 将①②代入（*）式，得， 解得m=，…（14分） ∴l的方程为：
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www.jyeoo.com y=2x﹣2或y=﹣2x+2．…（15分） 本题考查抛物线、椭圆、直线方程的求法，考查抛物线的焦点坐标和椭圆的离心率的求法，解题时要注意待定系数法的合理运用． 点评： 13．已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点 （Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程； （Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值． 考点： 圆锥曲线的综合． 专题： 综合题；转化思想． 分析： （I）通过待定系数法求抛物线的方程；再求出其焦点，求出椭圆的焦点；利用椭圆的定义求出椭圆方程． （II）设出点A的坐标，求出以AP为直径的圆的半径，求出圆心到直线的距离；利用圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形得到勾股定理，表示出弦长；据弦长是定值，令未知数的系数为0，求出抛物线方程． （III）求出两条切线的方程及 ?2010-2014 菁优网