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所以，若要A端不滑动，AB必须满足
l12AB?l1sin?11?l2sin?2??l?2 ①
2??1?1?11l1?122根据对称性，只要将上式中的下角标1、2对调，即可得出B端不滑动时，AB必须满足的条件为：AB?2l2?l?2 ② 2?2?1?2?1l2?221如果系统平衡，①②两式必须同时满足。
从①式可以看出，μ1可能取任意正值和零，当μ1=0时，AB只能取最小值l2?l1，此22l22?1 时θ1=0，l2拉直但无张力。从②式可以看出μ2的取值满足?2?l12l2222?1l?l否则AB无解，?2?时，AB取最小值。 212l1综上所述，AB的取值范围为：
情况1：l2松弛0?AB?l2?l1，μ1、μ2为任意非负数。
22l22?2?2?1。情况2：μ1为任意非负数， l2张紧l?l?AB?[①②两式右边较小的]，
l12221类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，即要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑以哪点为转动轴或哪点先动的问题。 例5．质量分别为m和M的两个小球用长度为l的轻质硬杆连接，并按图1一11所示位置那样处于平衡状态．杆与棱边之间的摩擦因数为μ，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计．为使图示的平衡状态不被破坏，参数m、M、μ、
l、a和?应满足什么条件？
分析和解：本题是一道典型的刚体定轴转动平衡
问题，解题时对整体进行受力分析，但物体的平衡不是共点力的平衡，处理时必须用正交分解法，同时还要考虑力矩的平衡，受力分析如图，根据力的平衡条件可列出：
Ncos??Fmsin??(M?m)g ①
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Nsin??N1?Fmcos? ②
根据力矩平衡条件可写出：
Mglcos??Na ③ cos?杆不滑动的条件为Fm < Μn。由①得 Fm?(M?m)g?Nco?s??N，即
sin?(M?m)g?N(cos???sin?)④
用③除④得 (ml?1)?c2o?sMa(?c?o?s?s) ⑤ i n
杆不向右翻倒的条件为N1＞0。由①和②可得出 N1?F s?Ns?inmco??(M?m)g?Ncos?cos??Nsin??0
sin?由此可得(M?m)gcos??N ⑥ 将③中的N代人⑥得
1?ml?cos? ⑦ Ma由于lcos??a，再考虑不等式⑦，可得 1?lml2co?s?1??co?saMa(?co?s??) s i n ⑧
为了在不等式⑧中能同时满足最后两个不等号，就必须满足条件：
s(c?o?s? co?s?i?n )由此可得平衡条件为：??tan?，如果??tan? ，就不可能出现平衡． 例6．如图1一12，匀质杆长l，搁在半径为R的圆柱上，各接触面之间的摩擦因数均为μ，求平衡时杆与地面的夹角α应满足的关系．
分析和解：本题也是一个一般物体的平衡问题与 上题的区别在 于没有固定转动轴，所以这个问 题的难点在于系统内有三个接触点，三个点上的 力都是静摩擦力，不知道哪个点最先发生移动．
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我们先列出各物体的平衡方程：设杆和圆柱的 重力分别为G1和G2。 对杆
∑Fx=0 Ff3＋Ff2cosα=FN2sinα ① ∑Fy=0 FN3＋FN2cosα+Ff2sinα=G1 ② ∑MO′=0 G1? 对柱
∑Fx=0 Ff1＋Ff2cosα=FN2sinα ④ ∑Fy=0 Ff2sinα+G2＋FN2cosα=FN1 ⑤ ∑MO=0 Ff1 =Ff2 ⑥ ∑MO′=0 FN2+G2=FN1 ⑦
以上七个方程中只有六个有效，由⑦式可知，FN1>FN2,又因为 Ff1 =Ff2 ,所以一定是2 z处比1处容易移动,再来比较2处和O′处.
(1)如果是2处先移动,必有 Ff2=μFN2, 代入④式,可得??tan即有
l??cos??FN2?R?cos ③ 22?2,将此结果代入①②③式,
G1L??(1??2)Ff3?(sin???cos?) 22R(1??)l??(1??2)FN3?G1[1?(?sin??cos?)]
2R(1??2) 在这种情况下,如要Ff3≤μFN3,必须有
R(1??2) l??2?(1??)杆要能搁在柱上，当然要l?Rtan?2?R?
R(1??2)??l??因此在l?时,α=2arctanμ。 2???(1??)tan2RR（2）如果是0'处先移动，必有Ff3=μFN3，代入①②式，可有
Ff2?FN2?tan?2
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tanFN2?G1?l?cos???2
2R??2R?l?cos(1?tan)?tan ⑧ ?221??满足⑧式的α即为平衡时的α，这时要求Ff2＜FN2·μ，须有
R1??2 l??2?1??综上所述
R1??2当?l??时，α=2arctanμ。 ??1??2R1??R1??22R?l?cos?(1?tan)?tan当l??时，α应满足。 2?22?1??三、小试身手
1． 如图1—13所示，长为L的均匀木杆AB,重量为G，系在两根长均为L的细绳的两端，并
悬挂于O点，在A、B两端各挂一重量分别为G1、G2的两物，求杆AB处于平衡时，绳OA与竖直方向的夹角．
2． 一长为L的均匀薄板与一圆筒按图1—14所示放置，平衡时，板与地面成θ角，圆筒与薄
板相接触于板的中心．板与圆筒的重量相同均为G．若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力．
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3． 如图1—15，两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，
下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？
4． 如图1—16所示，一均匀梯子，一端放在水平地面上，另一端靠在竖直墙上，梯子与地
面和墙间的静摩擦因数分别为μ1和μ2，求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角．
5． 如图1—17所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光
滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力FT。
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