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在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x、y，设O为????2坐标原点，点P的坐标为(x?2,x?y)，记??OP．
（I）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量?的分布列和数学期望．
解：（I）?x、y可能的取值为1、2、3，?x?2?1，y?x?2，
???(x?2)?(x?y)?5，且当x?1,y?3或x?3,y?1时，??5．
22因此，随机变量?的最大值为5………………………?4分
?
有放回摸两球的所有情况有3?3?9种
29?P(??5)?……?6分
（Ⅱ）?的所有取值为0,1,2,5．
???0时，只有x?2,y?2这一种情况．
??1时，有x?1,y?1或x?2,y?1或x?2,y?3或x?3,y?3四种情况，
??2时，有x?1,y?2或x?3,y?2两种情况．
?P(??0)?19，P(??1)?49，P(??2)?29…………………………8分
则随机变量?的分布列为：
? P 0 191 2 5 29 49 29 ……………?10分
因此，数学期望E??0?19?1?49?2?29?5?29?2……………??12分
（21）(文科)（本小题满分13分）
已知椭圆C：
xa22?y23?1(a?10)的右焦点F在圆D:(x?2)?y?1上，直线
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l:x?my?3(m?0)交椭圆于M、N两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 若OM?ON(O为坐标原点)，求m的值；
(Ⅲ) 若点P的坐标是(4,0)，试问?PMN的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存
在，请说明理由．
（21）解：(Ⅰ) 由题设知，圆D:(x?2)2?y2?1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，
故圆D与x轴交与两点(3,0)，(1,0). …………………………1分 所以，在椭圆中c?3或c?1，又b2?3， 所以，a2?12或a2?4 (舍去，∵a?于是，椭圆C的方程为
x210) ………3分
12?y23?1． ………………………4分
(Ⅱ) 设M(x1,y1)，N(x2,y2)；
?x?my?3?2直线l与椭圆C方程联立?x2 y??1?3?12化简并整理得(m?4)y?6my?3?0 ………………………5分 ∴y1?y2??6mm?4222m?424∴x1?x2?m(y1?y2)?6?2
m?4，y1?y2??32
x1?x2?my1y2?3m(y1?y2)?9?2?3m22m?4??18m22m?4?9?36?12mm?422………7分
∵OM?ON，∴OM?ON?0 即x1x2?y1y2?0得
236?12m?3m?41121222?0
∴m?114，m??. ?????????9分
FP?y1?y2?12?1?(y1?y2)?4y1y2
2(Ⅲ) 解法一：S?PMN?第12页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
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?12?36m222(m?4)?12(m?4)2?23m?1（m?4）222 =2321(m?1)?9m?12?23?6112?1
当且仅当m2?1?3即m??2时等号成立
故?PMN的面积存在最大值1. ……………????13分 (或: S?PMN?23?m+12?m2?4?2=23??1?m2?4?2?1m?42
令t??1???0,?， 2m?4?4?16)?21则S?PMN?23??3t2?t?23??3(t? 当且仅当t?1112?1 …………??12分
?1?2??0,?时等号成立，此时m?2 6?4?故?PMN的面积存在最大值1. ……………????13分 解法二：MN?(x1?x2)?(y1?y2)?22(m?1)(y1?y2)?4y1y2
2?2??2?36m212?m?1(m?1)??2 ……???????10分 ??43222m?4?m?4?(m?4)2点P到直线l的距离是
4?3m?12?21m?12 .
m?1(m?4)222所以，S?PMN?4321212m?1m?4)?1m?42?m?12?23
?23?3(m?42 …………?????11分
令t??1?， ??0,2m?4?4???3t?t?2321S?PMN?23?3(t?16)?2112?2312?1， ………???12分
当且仅当t?1?1?2??0,?时，此时m?2 6?4?故?PMN的面积存在最大值，其最大值为1. ?????????13分 （21） (理科) (本小题满分13分)
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已知椭圆C：
xa22?y23?1(a?2210)的右焦点F在圆D:(x?2)?y?1上，直线
l:x?M、N两点. m?y3(m?交椭圆于0(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 若OM?ON(O为坐标原点)，求m的值；
(Ⅲ) 设点N关于x轴的对称点为N1（N1与M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问?PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． （21）解：(Ⅰ) 由题设知，圆D:(x?2)2?y2?1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，
故圆D与x轴交与两点(3,0)，(1,0). ????????????1分 所以，在椭圆中c?3或c?1，又b2?3， 所以，a2?12或a2?4 (舍去，∵a?x210) ???3分
于是，椭圆C的方程为
12?y23?1． ?????????4分
(Ⅱ) 设M(x1,y1)，N(x2,y2)；
?x?my?3?2直线l与椭圆C方程联立?x2 y??1?3?12化简并整理得(m?4)y?6my?3?0 ?????????5分 ∴y1?y2? 2m?424∴x1?x2?m(y1?y2)?6?2，
m?4m?4222?6m，y1?y2??3x1?x2?my1y2?3m(y1?y2)?9?2?3m22m?4??18m22m?4?9?36?12mm?422………7分
∵OM?ON，∴OM?ON?0
36?12m?3m?411222即x1x2?y1y2?0得
114?0
∴m?2，m??，即m为定值. ?????????9分
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(Ⅲ) ∵M(x1,y1)，N1(x2,?y2)
∴直线N1M的方程为
y?y1?y2?y1?x?x1x2?x1 ……………????10分
令y?0，则x?y1(x2?x1)y1?y2?x1?y1x2?y2x1y1?y218m
?6m?2my1y2?3(y1?y2)y1?y222?24m?4； ?m?4m?4??6m?6m?m?42 ∴P(4,0). ………………………11分 解法一：S?PMN?1236m22212FP?y1?y2?12?1?2(y1?y2)?4y1y2
2??(m?4)?12(m?4)2?23m?1（m?4）22
=2321(m?1)?9m?12?23?6112?1
当且仅当m2?1?3即m??2时等号成立
故?PMN的面积存在最大值1. ……………????13分 (或: S?PMN?23?m+12?m2?4?2=23??1?m2?4?2?1m?42
令t??1?， ??0,2m?4?4??16)?21则S?PMN?23??3t2?t?23??3(t? 当且仅当t?1112?1 …………??12分
?1?2??0,?时等号成立，此时m?2 6?4?故?PMN的面积存在最大值1. ……………????13分 解法二：MN?(x1?x2)?(y1?y2)?22(m?1)(y1?y2)?4y1y2
2?2??2?36m212?m?1(m?1)??2 ……???????10分 ??43222(m?4)m?4m?4??2点P到直线l的距离是
4?3m?12?1m?12 .
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