习题一
1 设总体X的样本容量n?5，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）X~B(1,p)； 2）X~P(?)； 3）X~U[a,b]； 4）X~N(?,1).
解 设总体的样本为X1,X2,X3,X4,X5， 1）对总体X~B(1,p)，
P(X1?x1,X2?x2,X3?x3,X4?x4,X5?x5)??P(Xi?xi)??pxi(1?p)1?xii?1i?1n5
?p5x(1?p)5(1?x)15其中：x??xi5i?12）对总体X~P(?)
P(X1?x1,X2?x2,X3?x3,X4?x4,X5?x5)??P(Xi?xi)??i?1i?1n5?xixi!e??
??5x?x!ii?15e?5?15其中：x??xi5i?1
3）对总体X~U(a,b)
51?5,a?xi?b,i?1,...,5?? ,x5)??f(xi)??i?1b?ai?1?0，其他? f(x1,
4）对总体X~N(?,1)
f(x1,,x5)??f(xi)=?i?1i?1551e2???xi???22??2???5/2?152?exp????xi????
?2i?1?2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设i(i=0,1,2,3,4)代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：
表1.1 频率分布表 i 个数 0 1 2 3 4 6 7 3 2 2 0.3 0.35 0.15 0.1 0.1 fX i
经验分布函数的定义式为：
?0,x?x(1)??kFn(x)?,x?k??x?x?k?1?,k=1,2,?n??1,x?x?k?
据此得出样本分布函数：
,n?1,，
x?0?0,?0.3,0?x?1??0.65,1?x?2F20(x)?2?x?3?0.8,?0.9,3?x?4?x?4?1,
Fn(x)x
图1.1 经验分布函数
3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：
组下限 组上限 人 数 165 167 169 171 173 175 177 167 169 171 173 175 177 179 3 10 21 23 22 11 5 试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图1.2 数据直方图
它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即N(172,5.64).
4 设总体X的方差为4，均值为?，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足P(X???k)?0.9.
?X????5k? 解 PX-??k ?P??4100?????? P?5k?5?X????5k
因k较大，由中心极限定理,??X??~N(0,1)： 4100PX-??k???5k?????5k?
????(5k)?(1??(5k))?2??5k??1?0.9
所以：??5k??0.95
查表得：5k?1.65，?k?0.33.
5 从总体X~N(52,6.3)中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
2??X?52解 P?50.8?X?53.8? ?P??1.1429??1.7143?26.3/36??
U?X?526.3/362~N(0,1)
?P?50.8?X?53.8??P??1.1429?U?1.7143???(1.7143)??(?1.1429）
?0.9564?(1?0.8729)?0.82936 从总体X~N(20,3)中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解 设两个独立的样本分别为：X1,由题意知：X和Y相互独立，且：
X~N(20,3)，Y~N(20,3)
1015 P(X?Y?0.3)?1?P(X?Y?0.3)
X?Y0.50.3)0.5
,X10与Y1,,Y15，其对应的样本均值为：X和Y.
?1?P(?X?Y~N(0,0.5)?X?Y~N(0,1)0.5
P(X?Y?0.3)?2?2?(0.4243)?0.6744,X10是总体X~N(0,4)的样本，试确定C，使得P(?Xi?C)?0.05.
2i?1107 设X1, 解 因Xi~N(0,4)，则
Xi~N(0,1)，且各样本相互独立，则有： 2?Xi????~?2(10)i?1?2?
102所以：P(?Xi?1102i1102?C)?P(?Xi4i?1?C4)
?1102c? ?1?P??Xi???0.05
4??4i?1?1102c?P??Xi???0.95
4??4i?1查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.
8 设总体X具有连续的分布函数FX(x)，X1,定义随机变量：
且EXi??，,Xn是来自总体X的样本，
?1,Yi???0,试确定统计量?Yi的分布.
i?1nXi??Xi??,i?1,2,,n
解 由已知条件得：Yi~B(1,p)，其中p?1?FX(?).
因为Xi互相独立，所以Yi也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
?Y~B(n,p)，p?1?Fii?1nX(?).
9 设X1,,Xn是来自总体X的样本，试求EX,DX,ES2。假设总体的分布为： 1）X~B(N,p); 2) X~P(?); 3) X~U[a,b]; 4) X~N(?,1); 解 1) EX?EX?Np
DX?DXNp(1?p) ?nnES2?DX?Np(1?p)
2) EX?EX??
DX?DX?? nn