1n?1212(n?1)2??E[E?xi?1?2xi?1xi?xi2]?[2(n?1)(?2??2)?2(n?1)?2]??ki?1kk2???
令 E??2? 得
2(n?1)2???2 kk?2(n?1).
2）
令
yi?xi?x???n?1xi?k?1,k?innxe?x22(n?1)2?n?nxk?n?12?N?0,??
n??2n(n?1)Eyi????2?n?1?ndx?????
k?2n(n?1)?.
213 设X1,...,Xn是来自总体X的样本，并且EX =?，DX = ?，X,S2是样本均值和样本方差，
试确定常数c，使X2?cS2是?的无偏估计量 .
解
2E(X?cS)?EX?cES?DX?EX?c??
所以
222222?2n??2?c?2??21c?
n.
14 设有二元总体(X,Y)，(X1,Y1),(X2,Y2),,(Xn,Yn)为其样本，证明：
C?是协方差Z证明
^(X?n?1i?11ni?X)(Yi?Y)
?Cov(X,Y)的无偏估计量 .
nnn?1xi?k?1,k?i由于?xi?x??yi?y??(nn?xkn?1)(yi?k?1,k?inn?yk)
?(n?1)xiyi?n22(n?1)k?1,k?i2?nykxi?(n?1)nk?1,k?i2?nxkyin?k?1,k?i?nxknk?1,k?i2?nyk
所以：
(n?1)2(n?1)2(n?1)Exy?(n?1)(n?2)ExEyE?xi?x??yi?y??Exy?2ExEy?n2n2n2(n?1)(n?1)?Exy?ExEynn
EC?^1(n?1)(n?1)n(Exy?ExEy)?Exy?ExEy?cov(X,Y)?Z，证毕 . n?1nn2S是样本方差，15 设总体X~N(?,?2)，样本为X1,...,Xn，定义S12?22n?1n2S2?S，
2n?1n?12S，
试比较估计量S,S12,S22哪一个是参数?的无偏估计量？哪一个对? 的均方误差
E(Si??)2222最小？
1
）
解
2nn211122ES?E(Xi?X?)?E((?Xi?nX))?(?EXi2?nEX2) ?n?1n?1i?1n?1i?1??2?122?[n(???)?n???2?]??2 n?1?n?22所以 S是的?无偏估计
2）
222?n?1??4,E?S2??2??DS2??4 D?2S2??2(n?1),所以，DS2?n?1n?1???E?S12??2??D?S12??2??(E?S12??2?)2?22E?S2??2?22n?14?2n
222?D?S2??2??(E?S2??2?)2??4n?1222可以看出ES2????最小 .
31?i?316 设总体X~U[0,?]，X1,X2,X3为样本，试证：4maxXi与4minXi都是参数?的无偏估
1?i?3计量，问哪一个较有效？ 解
E4X(1)4n??3?n(1?)n?1dx?(1?t)n?1tdt???300xx?111?4?4n??n?1n????(1?t)tdt??(1?t)tdt??3??n?100?
444xx4n?n4n?EX(n)?EX(n)??n()n?1dx?ttdt??? 3330??3?3n?1??0EX(1)??1??3,EX(n)?? 4421EX2(1)21111?x?x??3?1??dx?3?2?(1?t)2t2dt?3?2[??]??2
???352100?0EX(2n)213?x?x??3??dx?3?2?t4dt?3?2??2
???550?0?21D4X(1)?16DX(1)?16(EX2(1)?EX(1))?16(2?2?210?3)??2 1654161616392?2322DX(n)?DX(n)?(EX(n)?EX(n))?(?)???D4X(1)??23999516155
所以
4X(n)比较有效. 317 设??1，??2是?的两个独立的无偏估计量，并且??1的方差是??2的方差的两倍 .试确定常
??c??为?的线性最小方差无偏估计量 . 数c1, c2，使得c1?122解： 设
D?1??22,D?2?2?2
E(c1?1?c2?2）?c1??c2??(c1?c2)???，c1?c2?1，c2?1?c1
2D(c1?1?c2?2）?c122?2?c22?2?2c12??1?c1??2
?2?2c12??1?c1??3c12?2c1?1
当c1??2?212?，上式达到最小，此时c2?1?c1? . 2*33318. 设样本X1,...,Xn来自于总体X，且X~P(?)(泊松分布)，求EX,DX，并求C-R不等式下界，证明估计量X是参数?的有效估计量 . 解 EX?EX??，DX?DX?? nnL(?,x1xn)??i?1n?xe???e?n??nxxi!i11 x!2?ilnL??n??nxln???lnxi!
dnxnd2nlnL??n???x???,I(?)?E(?2lnL)? d???d??所以其C-R方差下界为
1?? I(?)n所以 X是参数?有效估计量.
19 设总体X具有如下密度函数，
??x??1,0?x?1f(x,?)??，??0
其它?0,X1,...,Xn是来自于总体X
的样本，对可估计函数g(?)?1??(?)，并，求g(?)的有效估计量g确定R-C下界 .
解 因为似然函数
L(?,x1xn)???xin?1??n?xin?1,lnL?nln??(??1)?lnxi
i?1ndn1??1?1?lnL???lnxi??n???lnxi????n???lnxi?g(?)??0 d?????n?n?所以取统计量T??11?lnxi n11ElnXi??lnx?xdx??lnxdx?xlnx??x??1dx??10000??1??1?
得ET?1?=g(?)，所以T??1?lnxi是无偏估计量 n2g?(?)1???2 令c(?)?n 由定理2.3.2知 T是有效估计量，由DT?c(?)?nn??1所以 C-R方差下界为
1 2n?.
1p20 设总体X服从几何分布：P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,，对可估计函数g(p)?，
则
1）求g(p)的有效估计量T(X1,2）求DT和I(p)； 3）验证T的相合性 .
解 1）因为似然函数L(p,x1n,Xn)；
xn)??p(1?p)xi?1?pn(1?p)nx?n
i?1lnL?nlnp?(nx?n)ln(1?p)
dnnx?nn?1?nlnL????x????x?g(p)? ??dpp1?p1?p?p?1?p所以取统计量T?X . 又因为 EX?EX??kp(1?p)k?1?k?1?p?k(1?p)k?1nk?1?p?dkq k?1dqndnkd1p1?p?q?p?2?dqk?0dq1?ppp 所以T?X是g(p)的无偏估计量，取c(p)??有效估计量
2）
n，由定理2.3.2得到，T?X是1?pc(p)g?(p)1g?(p)1?p?2,DT??np(1?p）c(p)np2
DXqDX??2?0,(n??）nnpI(p)?所以 T?X是相合估计量 .
21 设总体X具有如下密度函数，
?ln??x,0?x?1?f(x;?)????1，??1
?其它?0,?(?)？是否存在可估计函数g(?)以及与之对应的有效估计量gX1,...,Xn是来自于总体X的样本，
?(?)，请具体找出，若不存在，请说明为什么 . 如果存在g(?)和g解 因为似然函数L(?,x1ln?xi?ln??nxxn)???????,
???1?i?1??1nn