1n1n2?*?1?X?M2?X?(Xi?X),?1?M2?(Xi?X)2 即???ni?1ni?1*最大似然估计：
L(?,?,x1xn)??ei?1n1?(xi??)/?????n?1?exp???nx?n???,???lnL??nln??1?nx?n?
??n?nnlnL??0,lnL???2(x??)?0，无解 ????????L依定义有：?6)
矩估计：
??X???X?X?X(1),?L(1)?
.
EX??x0???1??xdx??M1 ????12
EX??2?0???1??2x?xdx??M2 ???1M2M2??M?1,? 11**M2M2?M2?1? 解方程组可得：?最大似然估计：
L(?,?,x1xn)??i?1n1??xi??1?n?n???xi?1n??1i,lnL?nln??n?ln??(??1)?lnxii?1nn?n??nlnL??nln???lnxi?0,lnL???0 ??????i?1
?L??无解，依定义得，??x(n) 解得 ?11nlnx(n)??lnxini?1 .
7)
矩估计：
??EX???04x33?e?x2???2dx???02x2?e?x2?2dx2?2?2????tte?dt?02????(2)?X
???M?X2
最大似然估计：
L(?,x1xn)??n4x2i3i?1??4??22?ei???3x???i?e??????i?1??2x?ixi2nnxi2???2
lnL?nln4?3nln??nln???lnxi2??2
2x?3n???2lnL???23i?0,?xi2 ?L????3n.8)
矩估计：
EX??x(x?1)?(1??)2x?2?x?2?d2d2x2x???[(1??)]??(1??)?2d(1??)2x?0x?2d(1??)2?2?2122dx2d22??q??????X2?23dqx?0dq1?q??
??M?2 Xn最大似然估计：
L(?,x1xn)??(xi?1)?2(1??)xi?2??2n(1??)nx?2n?(xi?1)i?1
lnL?2nln??(nx?2n)ln(1??)??ln(xi?1)
?2nnx?2n??2lnL???0,?L???1??X
.
4. 设总体的概率分布或密度函数为f(x;?)，其中参数?已知，记p?P(X?a0)，样本
X1,...,Xn来自于总体X，则求参数
? . p的最大似然估计量p解 记yi?1,xi?a0;yi?0,xi?a0则Yiyn)??p(1?p)i?1nyi1?yiB(1,p)；
(1?p)n?i?1L(p,y1,y2lnL(p,y1,y2?p?yii?1n?yin
yn)?nylnp?n(1?y)ln(1?p)dL(p,y1,y2dpyn)?ny?p?0
p(1?p)??Y. p5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
组中值xi 频 数?i 5 15 25 35 45 55 65 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数?的点估计. .解 最大似然估计：
L(?,x1xn)???e??xi??ne??nx,lnL?nln???nx
i?1n7dn1120000??,X?lnL??nx?0,?xv??20 ?iid??X1000i?11000???1?0.05 X.
6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其
寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
1n??x,????(xi?x)2 解 设灯泡的寿命为x,x~N(?,?),极大似然估计为：?ni?122??997.1,??2?17235.81 . 根据样本数据得到：?经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 17 20 10 2 1 0 0 升 数li 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x为每升水中大肠杆菌个数，x~最大似然估计为x，所以
P(?)，Ex??，由3题（2）问知，?的
??X??0*17?1*20?2*10?3*2?4*1?/50?1.?L
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
8 设总体X~N(?,?2)，试利用容量为n的样本X1,...,Xn，分别就以下两种情况，求出使P(X?A)?0.05的点A的最大似然估计量 .
1）若??1时； 2）若?,?2均未知时 . 解 1） ??1，?的最大似然估计量为x，
p?x?A??0.95,p???x????A??????0.95?
?(A?????U???)?0.95,A0.95
.
所以
??U?XA0.95*2） ?的最大似然估计量为x，?2最大似然估计为M2，由极大似然估计的不变性，
??U直接推出A0.95M2*?X.
9 设总体X具有以下概率分布f(x;?),??{1,2,3}：
f(x;1) f(x;2) f(x;3) x 0 1 2 3 4 1/3 1/3 0 1/6 1/6 1/4 1/4 1/4 1/4 0 0 0 1/4 1/2 1/4 求参数?的极大似然估计量?? .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值?? .
解 分别计算 ??1,2,3，时样本观测值出现的概率：
111??;4436104976当??2时，p?0; 当??3时，p?0当??1时，p???1 由最大似然估计可得：?.
10 设总体X具有以下概率分布f(x,?),??{0,1}：
f(x;0)???1,?0,0?x?1其它?1,0?x?1?， f(x;1)??2x
?其它?0, 求参数?的最大似然估计量?? . 解 ?最大似然估计应该满足：
??maxL?x,x?L12?n?n?xn;???max??f?xi;0?,?f?xi;1?,?
??0,1i?1?i?1?????1???max?1,? n??0,1?2n?xi0.5???i?1??结果取决于样本观测值
?x1,x2xn?
.
11 设X1,X2,X3,X4是总体X的样本，设有下述三个统计量： a?1?(X1?X2)?(X3?X4)
6311 a?2?(X1?2X2?3X3?4X4)/10 a?3?(X1?X2?X3?X4)/4
?3中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？ ?1,a?2,a指出a解
1111?1?(???)?(???)??,D??1?(?2??2)?(?2??2)?0.27?2 E?63369?2?(??2??3??4?)/10??，D??2?0.3?2 E??3?E?14?3??2?0.25?2 (???????)??,D?416?1,??2,??3无偏，??3方差最小. 所以 ?12 设总体X~N(?,?2)，X1,...,Xn为其样本， ??1）求常数k，使?21(X?ki?1n?1i?1?Xi)为?2的无偏估计量；
2??2）求常数k，使?解 1）
1k?|Xi?1ni?X|为?的无偏估计量 .