所以：X1?X~N(0,n?12?) n18 设X1,,Xn为总体X~N(?,?2)的样本，X为样本均值，求n，使得
P(|X??|?0.25?)?0.95.
解
U?X??~N(0,1)?/n??X???PX???0.25??P??0.25n??0.25n??/n????
?2?0.25n?1?0.95
所以：?0.25n?0.975
查表可得：0.25n?u0.975?1.96，即n?62. 19 设X1,????,Xn为总体X~U[a,b]的样本，试求：
1）X(1)的密度函数； 2）X(n)的密度函数； 解 因：X~U[a,b]， 所以X的密度函数为：
?1,x?[a,b]?， f(x)??b?a??0,x?[a,b]0,x?a??x?a?F(x)??,a?x?b
b?a?1,x?b?? 由定理：f(1)(x)?n(1?F(x))n?1f(x)
?b?xn?11),x?[a,b]?n( ??b?ab?a?0,x?[a,b]? f(n)(x)?n(F(x))n?1f(x)
?x?an?11),x?[a,b]?n( ??b?ab?a?0,x?[a,b]?20 设X1,,X5为总体X~N(12,4)的样本，试求：
1）P(X(1)?10)； 2）P(X(5)?15) 解
X~N(12,4)? Xi?12~N(0,1)2P?X(1)?10??1?P?X(1)?10?
?1??P?Xi?155i?10?
?1???1?P?Xi?10??
i?1??X?12???1???1?P?i??1??
?2??i?1??1?(1??(?1))5 ?1??5(1)?0.5785
P?X(5)?15???P?Xi?15?
i?1555?X?12???P?i?1.5?
?2?i?1??5(1.5)?0.93325?0.7077
21 设(X1,布：
n,Xm,Xm?1,,Xm?n)为总体X~N(0,?2)的一个样本，试确定下列统计量的分
1）Y1?m?Xi?1min?i?m?1m?n； 2）Y2?2?Xi?1m?ni?m?1m2iXim?X2i1?m1?m?n??；3）Y3??Xi????Xi? 2?2m??i?1?n??i?m?1?22解 1）因为：
?Xi?1mi~N(0,m?2)
?X所以：i?1mim?nm?~N(0,1)，
i?m?1??Xi22~?2(n)
?X且i?1mim?nm?与
i?m?1??Xi22相互独立，由抽样定理可得：
mY1?n?Xii?1m?Xi?1im?Xi2i?m?1m?n=m?m?nXi2i?m?1~t(n) n1m?n??2i22）因为：
1?2?Xi?12im~?(m)，
2?2i?m?1?X2i~?2(n)
且
1?2?Xi?1m2i与
1m?n?2i?m?1?X2i相互独立，
n?X所以：
i?1m?nm1=?212X?imi?1m?nmm?Xi2i?m?1?2i?m?1?X2~F(m,n)
2inm?ni?m?13）因为：
m?Xi?1mi~N(0,m?)，
(?Xi)2i?m?1m?n?Xi~N(0,n?2)
(?Xi)所以：
i?12m?22~?2(1)，
m?nn?2~?2(1)
(?Xi)且
i?1m(?Xi)2与
i?m?1m?2n?2相互独立，
221?m1?m?n??2X?X由卡方分布可加性得：i?i?~?(2). 2??2??m??i?1?n??i?m?n?22 设总体X服从正态分布N(?,?)，样本X1,X2,?,Xn来自总体X，S是样本方
22?(n?1)S2?差，问样本容量n取多大能满足P??32.67???2??0.95？
??解 由抽样分布定理：
n?1?2S2~?2(n?1),P(n?1?2S2?32.67)?0.95,
查表可得：n?1?21，n?22.
23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，
?S12?. S,S分别为两样本方差，求P???2.39?S2??2?2122解 设n1=20，n2=15分别为两样本的容量，?2为总体方差，由题意，
(n1?1)S1219S12(n2?1)S2214S222=2~?(19)，=2~?2(14) 22????19S122?又因S,S分别为两独立的样本方差：22122191414S2S12=2~F(19,14) S2?2?S12??S12?所以：P?2?2.39??1?P?2?2.39??1?0.95?0.05.
?S2??S2?
24 设总体X~N(?,?)，抽取容量为20的样本X1,X2,?,X20，求概率
2??1）P?10.85??????2）P?11.65????解 1）因
?(Xi??)2i?120?2???37.57?；
??????38.58?.
????(Xi?120i?X)2?2Xi???~N(0,1)，且各样本间相互独立，所以：
??X???i?1i20220?2?X??????i??2~?2(20) ?i?1???2故：P?10.85??2?37.57??0.99?0.05?0.94
2）因：
??Xi?120i?X?22??19S2?2~?2(19), 所以：
19S2??P?11.65?2?38.58??0.995?0.1?0.895.
???25 设总体X~N(80,?2)，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下
P(X?80?3)的值：
1） 已知??20；
2） ?未知，但已知样本标准差S?7.2674. 解 1）
X~N(80,?2)?X~N(80,?2X?80X?80)，2~N(0,1),~t(24) 25?/25S5?X?803?PX?80?3?P????20/54?????3???1?P?U???1?2?(0.75)?1
4???2?2?0.7734?0.4532
?X?80? 2）PX?80?3?P??2.064?
?7.2674/5??????1?P?T?2.064??1?2?0.975?1?0.05
26 设X1,,Xn为总体X~N(?,?2)的样本，X,S2为样本均值和样本方差，当n?20时，求：
1）P(X????4.472); 2）P(|S??|?22?22);
3）确定C，使P(解 1）
SX???C)?0.90.
X~N(?,?2)?X??~N(0,1)?n
?X??????P?X????P?4.472???4.472??????X????P???20?1???0.8413
???2??2?2??2?222?S??? 2）P?S?????P???
222????