百分等级 标准分数 学习指导：
在掌握集中量的概念时,应比较进行,避免混淆,应弄清他们在教育统计中的作用及优势；在掌握他们的计算时公式不是重点关键是掌握在什么情况下使用哪几种量,计算结果又说明什么问题。 在学习差异量时,应弄清他们在教育统计中的作用及优势；在掌握他们的计算时公式不是重点关键是掌握在什么情况下使用哪几种量,计算结果又说明什么问题。 第一节 集中量数 什么叫集中量数？
集中量是代表一组数据典型水平或几种趋势的量。它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。 一、算术平均数
1． 什么叫算术平均数？它有哪些特征？
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数、均值，用 表示。可概括为： 算术有如下特征：
（1）观察值的总和等于算术平均数的N倍，即：∑X=N ；
（2）各观察值与其算术平均数之差的总和等于零。即：∑（X— ）=0；
（3）若一组观察值是由两部分（或几部分）组成，这组观察值的算术平均数可以由组成部分算术平均数而求得；
2．算术平均值有哪些计算方法？
（1）原始数据计算法。用公式表示为：
（2）频数分布表计算法。如果一组原始数据已经编成了频数分布表，而原始数据又不在手头上，这时，可利用频数分布表来求这组数据算术平均数的近似值。用公式表示为：
3．算术平均值有哪些优缺点？
算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些条件： （1）反应灵敏。
（2）严密确定。简明易懂，计算方便。 （3）适合代数运算。
（4）受抽样变动的影响较小。 算术平均数的缺点：
（1）易受两极端数值（极大或极小）的影响。
（2）一组数据中某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数 二、加权平均数
加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数。它的计算公式有两种表达形式： （1） （2）
三、几何平均数
几何平均数是N个数值连乘积的N次方根。当一个数列的后一个数据是以前一个数据为基础成比例增长时，要用几何平均数求其平均增长率。 计算公式为：
第二节 差异量数 什么叫差异量数？
表示一组数据变异程度或离散程度的量称为差异量。差异量越大，表示数据分布的范围越广，越不整齐；差异量越小，表示数据分布得越集中，变动范围越小。 一、全距
全距是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用R表示。全距概念清楚，意义明确，计算简单，但因它仅由最大值与最小值而求得，易受两极端数值影响。不考虑中间数值的差异，反应不灵敏。只能作为差异量的粗略指标。 二、四分位距
1．什么叫做四分位距？
为了避免全距受两极端数值影响的缺点，则用依一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数距离的一半作为差异量指标，即四分位距。用公式可以表示为：
2．四分位距怎样计算？ （1）原始数据计算法
先将原始数据从小到大排列好。然后根据求中位数的方法求出第一个四分位数Q1和第三个四分位数Q3将之代入公式 ，即可求得四分位距
先用内插法求出第一个四分位数Q1及第三个四分位数Q3，然后将之代入公式 即可。计算 与 的公式分别为：
3．四分位距的有哪些优缺点？
（1）优点：四分位距简明易懂，计算简便，较少受两极端数值的影响，比全距可靠得多。
（2）缺点：但它忽略了左右共50%字数据的差异，又不适合代数运算，因而也限制了它的应用。 三、百分位距
百分位距是指两个百分位数之差。常用的百分位距有两种：一为第90与第10百分位数之差，用P90-P10表示。即依一定顺序排列的一组数据中间部位80%个频数的距离。一为第93与第7百分位数之差，用P93-P7表示，是一组数据中间部位86%个频数的距离。 四、平均差
1．什么是平均差？
平均差就是每一个数据与该组数数据的中位数（或算术平均数）离差的绝对值的算术平均数。通常用MD表示。
2．平均差有哪些计算方法？
（1）原始数据计算法用原始数据计算平均差的公式为：
（2）频数分布表计算法
用频数分布表上各组中值计算平均差的公式为：
五、方差和标准差
1．什么是方差和标准差？
（1）方差是指离差平方的算术平均数。具体地说，就是一组数据中每个数与该组平均数之差，平方之，求其和，再除以数据的个数。用 表示。其定义公式为：
（2）标准差是指离差平方和平均后的方根。即方差的平方根。用δX表示。其公式为
2．怎样计算方差和标准差？ （1）原始数据计算法
将定义公式加以变形，可变成不必求离差，直接用原始数据计算方差和标准差的公式。
（2）频数分布表计算法
若将原始数据已经归入频数分布表，而且原始数据又不在手边，这时可以用组中值近似计算。其计算公式为：
第三节 地位量数 一、名次
名次是对数据按大小排序得来的地位量数。 二、百分等级
百分等级指在一个总体中小于某个数据的频数占总频数的百分数，用符号PRx表示。公式为：
三、标准分数
1．什么叫标准分数？
标准分数又称Z分数，是一个数与它所在的总体的平均数之差除以总体的标准差所得的商。定义公式为：
2．标准分数的应用
（1）使不同学科不同时期的成绩具有可比性 （2）使不同学科的成绩具有可加性
练习题：
1.计算数据96、81、87、70、93、77、84的算术平均数。 2.计算下列112个学生测验分数的算术平均数。 112个学生测验分数的频数分布表 组
限 52.5— 57.5— 62.5— 67.5— 72.5— 77.5— 82.5— 87.5— 92.5— 总和
频数 5 8 10 9 28 34 14 2 2 112
3.某校规定教师的教学效果评定由三方面的成绩组成，学生评分占0.3,同行评分占0.4，领导及专家评分占0.3。某位老师的三种分数分别为94分，72分和79分，求该教师的总平均分数。 4.求下列原始数据的丛全距和四分位距 23、26、20、25、33、31、27、29
5.求下列原始数据14、17、21、12、19的平均差
6.一组数据的平均差越大，说明这组的离散程度 ，反之，则 。 7. 112个学生的测验分数的频数分表 分
组 52.5— 57.5— 62.5— 67.5— 72.5— 77.5— 82.5— 87.5— 92.5— 总和
频数 5 8 10 9 28 34 14 2 2 112 根据上表的资料，计算 （1）全距 （2）四分位距 （3） （4）
8．用定义公式计算5名男生体重（千克）41、39、37、35、38的方差及标准差。 9．某项考试成绩分布表 分
组 50— 55— 60— 65— 70— 75— 80— 85— 90
— 95— 总和
频数 2 4 6 11 24 37 19 12 9 4 128 （1）计算标准差（用两种方法） （2）计算方差
10．某同学语文考了90分，数学考了80分，他的语文比数学考得好一些，这句话对吗？ 11．根据下表，求身高为166厘米同学的百分等级，并说明其意义。 组别 频数 累积频数 相对累积频数 [173，176) [170，173) [167，170) [164，167) [161，164) [158，161) [155，158) [152，155) [149，152) [146，149) [143，148)
[140，143] 3 15 26 33 46 31 21 16 12 4
2 210 209 206 191 165 132 86 55 34 18 6
2 1.00 0.99 0.96 0.91 0.79 0.63
1 0.41 0.26 0.16 0.09 0.03 0.01
合 计 210
12．下表是甲、乙两个学生三门学科的成绩及该班的平均成绩和标准差。问甲、乙两生谁考得更好？ 考试科目 学生 班平均成绩 班标准差
甲 乙 物理 化学
数学 53 78
82 73 70
70 65 74
71 4 6 12
总和 213 213
参考答案： 1． 2． 3． 5． 6．
7．越大，越小 8．（1） （2）
（3） =23.55 （4）
9． =4，δX=2
10． =87.48，δX=9.35
11．不一定对，应该看一看90分和80分在班上的名次，也就是要看这两个分数在各自团体中的地位。 12．∵：166厘米在[164，167]这一组。 ∴：X=166（cm）Lb=164(cm)Fb=165（cm），f=26，i=3，N=210，代入公式3.24得
即身高为166厘米的同学的百分等级是86.83，也就是在这210人当中，身高低于166厘米的同学占86.83%。 13． 甲、乙学生标准分数计算表 考试科目 班标准差 甲 乙
物 理 化 学
数 学 -3 0.67
0.92 2 -0.67 -0.08
总 和 -1.41 1.35
如果是水平参照考试，两人总分一样，排名也应该一样，但甲有一门不及格。如果是选拔性考试，则乙的标准分数Z分数为正分，而甲的标准分数为负分。显然，乙在团体中的地位比甲要高得多。