第二讲 一元函数微分学
【例1】已知f?(3)?2,则 limf(3?h)?f(3)?_______.
h?02h1f(3?h)?f(3)1??f?(3)??1. 【解析】原式=?lim2?h?0?h2【例2】已知函数f?x?在x?0处可导，且f?0??0，则limx2f?x??2f?x3?= ( )
x?0x3(A)2f??0? (B)?f??0? (C)f??0? (D)0 2【详解】：limxf?x??2f?x3?
x?0x3?limx2f?x??x2f?0??2f?x3??2f?0?x?0x3? ?limf?x??f?0?f?x3??f?0??x?0? 故应选(B)??23?
?xx???f??0??2f??0???f??0?【例3】（07,3） 设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是( )
A.若limf(x)x?0x存在，则f(0)?0 B.若limf(x)?f(?x)x?0x存在，则f(0)?0C.若limf(x)x?0x存在，则f'(0)存在 D.若limf(x)?f(?x)x?0x存在，则f'(0)存在
【答案】D
【详解】方法1：论证法，证明A,B,C都正确，从而只有D不正确。
由limf(x)x?0x存在及f(x)在x?0处连续，所以
f(0)?limf(x)f(x)f(x)x?0f(x)?limx?0x?x?limx?0x?limx?0x?0?limx?0x?0，所以(A)正确；由选项(A)知，f(0)?0，所以limf(x)?f(0)x?0x?0?limf(x)x?0x存在，根据导数定义，f'(0)?limf(x)?f(0)x?0x?0存在，所以(C)也正确；
由f(x)在x?0处连续，所以f(?x)在x?0处连续，从而
limx?0?f(x)?f(?x)??limx?0f(x)?limx?0f(?x)?f(0)?f(0)?2f(0)
2f(0)?lim?f(x)?x?0?f(x)?f(?x)?f(?x)f(x)?f(?x)?x?x???limx?0x?limx?0x?0?limx?0x?0，
即有f(0)?0，所以(B)正确，故此题选择(D).
方法2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取f(x)?x，有
limx?0x??xf(x)?f(?x)?lim?0存在 x?0x?0x而lim?x?0f?x??f?0?f?x??f?0??x?0x?0?lim??1lim?lim?1，左右极限存，x?0?x?0x?0?x?0?x?0x?0x?0在但不相等，所以f(x)?x在x?0的导数f'(0)不存在。(D)不正确，选(D).
23【例4】函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导的点的个数是
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
23【详解】f(x)?(x?x?2)x?x?(x?2)(x?1)x?1x?1x
显然f(x)不可导的点最多三个，即x??1，x?1，x?0
但由常用结论的备注可知，f(x)在x??1可导，而在x?1，x?0不可导，故选（B）. 【例5】（05，1，2）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内 ( )
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【答案】C
【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，
n当|x|?1时，有1?n1?|x|3n?n2，命n??取极限，得limn1?1，limn2?1，由
n??n??夹逼准则得f(x)?limn1?|x|n??3n?1；
n??当|x|?1时，f(x)?limn1?1?limn2?1；
n??当|x|?1时，|x|?3n33n|x3n|?n1?x|3n|?nn2x|3n|?32x，|命|n??取极限，得
11limn2|x|?|x|，由夹逼准则得f(x)?lim|x|(3n?1)n?|x|3. n??n??|x|3??1,所以 f(x)??3??x,|x|?1|x|?1
再讨论f(x)的不可导点. 按导数定义，易知x??1处f(x)不可导，故应选(C).
【例6】（06,3）设函数f?x?在x?0处连续,且limh?0f?h2?h2?1,则( )
(A)f?0??0且f?'?0?存在 (B)f?0??1且f?'?0?存在 (C)f?0??0且f?'?0?存在 (D)f?0??1且f?'?0?存在
【答案】C
【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下：
f(h2)f(x)?lim?1 . 换元令x?h，由题设可得lim2?h?0x?0hxf(x)f(x)?lim?x?1?0?0 于是 limx?0?x?0?xf(x)?0，进而有 因为函数f(x)在点x?0处连续，故f(0)?lim?2x?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f??(0) . ?x?0x?0xx?0这表明f(0)?0且f??(0)存在. 故应选(C) .
1?lim?【例7】设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
（A）0?dy??y （B）0??y?dy （C）?y?dy?0 （D）dy??y?0 【详解】 应选（A）
排除法，令f(x)?x,x?0，有f?(x)?0,f??(x)?0，
（C）（D）均不dy?2x?x,?y?(x??x)2?x2?2x?x?(?x)2?2x?x?dy?0，所以（B）对，选（A） 【例8】设f(x)?sin(【详解】 应填0.
因为f(x)为奇函数，f?(x)为偶函数，f??(x)为奇函数，则f??(0)?0.
2x1?x2)，则f??(0)?—— 。
【例9】已知y?f?dy?3x?2?2?_______ ?，f?(x)?arctanx，则
dxx?0?3x?2?3?3x?2??12???f???f(?1)?3?3arctan1?? ??2?3x?2(3x?2)4????x?0【详解】
dydxx?0【例10】（2012）设函数y(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n),其中n为正整数,则y?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn! 【详解】方法1: 用一点处导数定义求.
f(x)?f(0)(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)=lim f??0? =limx?0x?0x?0x=lim(ex?02x?2)?(enx?n)= (1?2)(1?3)?(1?n)=(?1)n?1(n?1)!
故选 (A) .
方法2: 用导数运算法则先求导函数, 再求f??0?
【练习】设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?(x?100),则f?(1)? 【详解】方法1: 用一点处导数定义求.
f(x)?f(1)(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?(x?100)=lim
x?1x?1x?1x?1101!=lim(x?2)(x?3)(x?4)?(x?100)=(1?2)(1?3)(1?4)(1?5)?(1?100)=? x?1100f??1? =lim
1?3?xsin,x?0【例11】设?(x)??，函数f(x)可导，求F(x)?f[?(x)]的导数。 x?x?0?0,1??f(x3sin),x?0【详解】 F(x)?f[?(x)]?? x?f(0),x?0?当x?0时，F?(x)?f?(xsin)(3xsin31x211?xcos) xx当x?0时，F(x)为f(u)，和u??(x)的复合，且?(0)?0，由题设f?(0)存在，若??(0) 存在由复合函数求导法知
F?(0)?f?(0)??(0)
1x3sin?01x而??(0)?lim?limx2sin?0，则F?(0)?f?(0)?0?0
x?0x?0xx1f(x3sin)?f(0)F(x)?F(0)x注：F?(0)?lim ?limx?0x?0x?0x?01111f(x3sin)?f(0)x3sinf(x3sin)?f(0)x3sinxx?limxx ?lim?limx?0x?0x?011xxx3sinx3sinxx ?f?(0)?0?0
1f(x3sin)?f(0)x这是一种“经典”的错误，原因是极限lim不存在，因为求极限的函数在
x?01x3sinx1x?0的任何邻域内都有没定义的点x?（n充分大）
n?dyxy2【例12】设方程e?确定y为x的函数,则?_____________. y?cosxdxyexy?sinx【答案】y??? xyxe?2y【解析】将方程exy?y2?cosx看成关于x的恒等式,即y看作x的函数.
yexy?sinx方程两边对x求导,得e(y?xy?)?2yy???sinx?y???.
xexy?2yxy【例13】（2012）设y?y(x)是由方程x2?y?1?ey所确定的隐函数, 则
y''(0)? . 2y【详解】将x?0代入方程x?y?1?e得y?0。
在方程x2?y?1?ey两边同时对x求导得2x?y??eyy?,代入x?0，y?0得y??0??0.
yy y再在方程2x?y??ey?两边对x求导得 2?y???e?y???ey?,
2代入x?0,y?0,y??0??0得 y???0??1
?x?1?t2,d2y【例14】设? 则2=__________.
dx?y?cost,【详解】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
dy?x??(t)dy??(t)dydt?sint?如果 ?, 则 .所以 , ??dx?dx?(t)y??(t)dx2t?dt再对x求导,由复合函数求导法则得