所以y?0是沿x???方向的一条水平渐近线；
1?ln(1?ex)?1ln(1?ex)?yx?lim?2?令 a?lim?lim? x???xx???x???xx?x?exx1ln(1?ex)1?e?lim2?lim?洛必达法则?0?lim?1
x???xx???x???x1令 b?lim?y?a?x??lim?x???x????1??ln(1?ex)?x? ?x??lim1?lim?ln(1?ex)?x??x?lnex?0?lim?ln(1?ex)?lnex? x???xx???x???1?ex?limln(x)?limln(e?x?1)?ln1?0
x???x???e所以y?x是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D
【例35】设f(x)在[0,1]上可微，且当0?x?1时，0?f(x)?1，f?(x)?1试证在(0,1)内有且仅有一个x使f(x)?x.
证 令F(x)?f(x)?x，则F(0)?f(0)?0，F(1)?f(1)?1?0
由零点定理知方程F(x)?0在(0,1)内至少有一实根，又F?(x)?f?(x)?1?0，则
F(x)?0最多一个实根，原题得证．
【例36】（11，1）求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数.
详解：显然x?0为方程一个实根.
当x?0时，令f?x??x?k, f??x??arctanxarctanx?x1?x2 2?arctanx?x令g?x??arctanx?1?x2 即x?R,g??x??0
11?x2?x?2x2x2x?Rg??x?????0
22221?x2?1?x??1?x? ?g?0??0 ?当x?0时，g?x??0； 当x?0时，g?x??0.
?当x?0时，f'?x??0；当x?0时，f'?x??0.
?limf?x??limx?0xx?k?1?k limf?x??lim?k???
x?0arctanxx??x??arctanx?当1?k?0时，由零点定理可知f?x?在(??,0),(0,??)内各有一个零点；
当1?k?0时，则f?x?在(??,0),(0,??)内均无零点.
?综上所述，当k?1时，原方程有三个根.
当k?1时，原方程有一个根.
【例37】（03,2） 讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数. 【详解】讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数等价于讨论方程
?(x)?ln4x?4lnx?4x?k
在区间(0,??)内的零点问题，为此对函数求导，得
4ln3x44??(x)???4?(ln3x?1?x).
xxx1?x?0，而可以看出x?1是?(x)的驻点，而且当0?x?1时，ln3x?0，则ln3x?有??(x)?0，即?(x)单调减少；当x?1时，ln3x?0，则ln3x?1?x?0，而
4?0，x4?0，有x??(x)?0，即?(x)单调增加，故?(1)?4?k为函数?(x)的惟一极小值即最小值.
① 当?(1)?4?k?0，即当k?4时，?(x)??(1)?0，?(x)无零点，两曲线没有交点； ② 当?(1)?4?k?0，即当k?4时，?(x)??(1)?0，?(x)有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；
③ 当?(1)?4?k?0，即当k?4时，由于
3lim?(x)?lim[lnx(lnx?4)?4x?k]???； ??x?0x?0x???lim?(x)?lim[lnx(ln3x?4)?4x?k]???
x???由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与(1,??)内各至少有一个零点，又因?(x)在区间(0,1)与(1,??)内分别是严格单调的，故?(x)分别各至多有一个零点. 总之，?(x)有两个零点． 综上所述，当k?4时，两曲线没有交点；当k?4时，两曲线仅有一个交点；当k?4时，两曲线有两个交点．