方法2：本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y?lnx过此切点的导数为y?x?x0?1?1，x0得x0?1，所以切点为(x0,lnx0)??1,0?，由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.
【例25】（01，1,2）设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图形如右图所示则导函数
y?f?(x)的图形为 ( )
【答案】(D)
【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y?f(x)是 严格单调增加的，因此当x?0时，一定有f'(x)?0，对应
y?f?(x)图形必在x轴的上方，由此可排除(A)，(C)；
又y?f(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有f'(x)?0，对应y?f?(x)图形必在x轴的上方，可排除(B)，故正确答案为(D).
【例26】（03，1,2）(1) 设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)y
有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点. 【答案】(C)
【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值
x
点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定． 【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x?0是导数 不存在的点．
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；
对导数不存在的点：x?0．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x?0为极大值点．
故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)． 【例27】(10，1)求函数f?x??详解：f(x)???x12x22?t?edt的单调区间与极值
?t2?x21(x?t)edt?x2?t2?x21edt??te?tdt
1?t2x22所以f?(x)?2x?x21edt?2xe?t23?x4?2xe3?x4?2x?e?tdt
1x22令f?(x)?0，则x?0,x??1；因为当x?1时，f?(x)?0，0?x?1时，f?(x)?0，
?1?x?0时，f?(x)?0，x??1时，f?(x)?0；
所以f(x)的单调递减区间为(??,?1)?[0,1)；f(x)的单调递增区间为[?1,0)?[1,??)
0所以f(0)??1121(0?t)edt??e?t?(1?e?1)是极大值.
220?t21f(?1)?0为极小值.
【例28】（08,2）求函数f(x)?(x?5)x的拐点______________. 【答案】(?1,?6) 【详解】y?x5323?5x23?y??52310?135(x?2)x?x? 333x13101010(x?1) ?y???x?13?x?43?43999xx??1时，y???0；x?0时，y??不存在
在x??1左右近旁y??异号，在x?0左右近旁y???0，且y(?1)??6 故曲线的拐点为(?1,?6)
【例29】（11，1） 曲线y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的拐点是 ( )
234(A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0) 【答案】( C)
??1,y1???0，y2?(x?2)2,y2??2(x?2),y2???2, 详解：解析：令y1?x?1,y1??3(x?3)2,y3???6(x?3), y3?(x?3)3,y3??4(x?4)3,y4???12(x?4)2, y4?(x?4)4,y4y???(x?3)P(x)，其中P(3)?0，y??故选(C)．
x?3?0，在x?3两侧，二阶导数符号变化，
f?1??f?2?f?1??f?2??1?2??0,f?法二：，所以f(x)在(1,2)上凹 ??0?222??f?2??f?3?f?2??f?3??2?3??0,f?，所以f(x)在(2,3)上凹 ?0??22?2?f?3??f?4?f?3??f?4??3?4??0,f?，所以f(x)在(3,4)上凸 ?0??222??【例30】（00,2） 设函数f(x)满足关系式f??(x)?[f?(x)]2?x，且f?(0)?0，则 ( )
(A)f(0)是f(x)的极大值. (B)f(0)是f(x)的极小值.
(C)点(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点.
(D)f(0)不是f(x)的极值，点(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点. 【答案】C
【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f(x)在x0出具有二阶导数且f?(x0)?0，
f??(x0)?0，那么：(1) 当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值；
(2)当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极小值；
【详解】令等式f??(x)?[f?(x)]?x中x?0，得f??(0)?0??f?(0)??0，无法利用判断极
22值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.
再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：
f???(x)?(x??f?(x)?)??1?2f?(x)f??(x)
2以x?0代入，有f???(0)?1，所以
f???(0)?limx?0f??(x)?f??(0)f??(x)?lim?1. x?0x?0x从而知，存在x?0去心邻域，在此去心邻域内，f??(x)与x同号，于是推知在此去心邻域内当x?0时曲线y?f(x)是凸的，在此去心临域内x?0时曲线y?f(x)是凹的， 点
(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点，选(C).
【例31】（01,3）设函数y?f(x)的导数x?a处连续,又limx?af'(x)??1,则( ) x?a(A)x?a是f(x)的极小值点. (B)x?a是f(x)的极大值点. (C)?a,f(a)?是曲线y?f(x)的拐点.
(D)x?a不是f(x)的极值点,?a,f(a)?也不是曲线y?f(x)的拐点. 【答案】[B]
【详解】方法1：由limf?(x)??1,知
x?ax?af?(x)f?(x)limf?(x)?lim??x?a??lim?lim?x?a???1?0?0 x?ax?ax?ax?ax?ax?a又函数f(x)的导数在x?a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以f?(a)?0，于是有
f??(a)?limx?af?(x)?f?(a)f?(x)?lim??1, x?ax?ax?a即f?(a)?0，f??(a)??1?0，根据判定极值的第二充分条件：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f?(x0)?0，f??(x0)?0，当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值. 知x?a是f(x)的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由limx?af?(x)??1,及极限保号性定理：如果limf?x??A，且A?0(或A?0)，
x?x0x?a那么存在常数??0，使得当0?x?x0??时，有f?x??0(或f?x??0)，知存在
f?(x)?0.于是推知，在此去心邻域内当x?a时x?a的去心邻域，在此去心邻域内
x?af?(x)?0；当x?a时f?(x)?0.又由条件知f(x)在x?a处连续，由判定极值的第一
充分条件：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心?领域内可导，若x??x0??,?x0?时，f?(x)?0，而x??x0,?x0???时，f?(x)?0，则f(x)在x0处取得极大值，知f(a)为f(x)的极大值. 因此，选 (B).
【例32】（10,3）若曲线y?x3?ax2?bx?1有拐点(?1,0)，则b? ?????????????????. 答案：b?3 详解：
y?x3?ax2?bx?1y??3x2?2ax?b y???6x?2a令y???0，得x??a??1，所以a?3 3又曲线过点??1,0?，代入曲线方程，得b?3 【例33】求曲线y?xarctanx的渐近线。
【详解】：显然曲线y?xarctanx无水平渐近线和垂直渐近线．
x???limf(x)??limarctanx??a x???x2??????b?lim?f(x)?ax??lim?xarctanx?x??limx?arctanx??
x???x???2?x????2??arctanx??limx????1x12??lim1?x2??1?b
x???1?2x ∴y?ax?b?同理 y?
?2x?1是x???时的斜渐近线．
?2x?1是x???时的斜渐近线．
1?ln(1?ex)渐近线的条数为( ) x1?1??ln(1?ex)??lim?limln(1?ex)??，
x?0x??x?0xx?0【例34】求曲线y?【详解】因为limy?lim?x?0所以x?0是一条铅直渐近线； 因为limy?lim?x???x???1?1??ln(1?ex)??lim?limln(1?ex)?0?0?0， ?x?x?0xx?0