d2yddydtd?sint1?()??()? dx2dtdxdxdt2t2t??2tcost?2sint1sint?tcost??. 234t2t4t?x?e?td2y?【例15】(10，1)设?，求2??????????????????. t2??y??0ln?1?u?dudxt?0详解：dyln?1?t2dx???e?t??ln?1?t2?et, d2y?2t?dx2?d?ln?1?t?edt?dtdx?????2tt2t?t1?t2?e?ln?1?t?e?????e?, 【练习】设y?y(x)由??x?3t2?2t?3d2y?eysint?y?1?0所确定，求dx2 t?0【详解】本题最简单的方法是利用公式
d2yy??(0)x?(0)?x??(0)ydx2??(0)3 t?0?x?(0)?由x?3t2?2t?3知 x??6t?2，x???6，则
x?(0)?2，x??(0)?6
由eysint?y?1?0知y(0)?1，且eyy?sint?eycost?y??0
(eyy?)cost?(eyy?)?sint?eyy?cost?eysint?y???0
令t?0，得y?(0)?e，y??(0)?2e2
d2y2e2dx2??3e t?044、对数求导法(适用于幂指函数、连乘、开方、乘方等)。 【例16】设y?(1?x2)sinx，求y?.
【详解】lny?sinxln(1?x2)
yy??cosxln(1?x2)?2xsinx1?x2 d2ydx2?0t?0 2xsinx?? y??(1?x2)sinx?cosxln(1?x2)?2?1?x??fx【例17】（06,3）设函数f(x)在x?2的某领域内可导,且f??x??e??,f?2??1,则
f????2??______
【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。
由
f(x)f(x)2f(x))??ef?(x)?ef?(x)?ef(x)，有f??(x)?(e
所以 f???(x)?(e2f(x))??e2f(x)(2f(x))??2e2f(x)3f(x)f?(x)?2e
3f(2)?2e3以x?2代入，得f???(2)?2e.
1(?1)n2nn!(n)【例18】（07,3）设函数y?，则y(0)?___________ 【答案】
2x?33n?1【详解】y?1?1??2x?3?，
2x?3?1?1?1?1??2x???(?1)1?1!?21??2x?3?，
?3?2?1y??(?1)??2x?3?y???(?1)?(?2)?22??2x?3??(?1)22!?22??2x?3?由数学归纳法可知 y(n),?,
?(?1)n2nn!?2x?3??n?1,
(?1)n2nn!把x?0代入得 y(0)? n?13(n)2【例19】求函数f(x)?xln(1?x)在x?0处的n阶导数.
【解法1】利用公式(uv)2(n)(k)(n?k)??Ckv nuk?0n1?x) 令u?x，v?ln(u(0)?0，u?(0)?0，u??(0)?2，u(k)(0)?0 (k?3) u??2x，u???2，u(k)?0 (k?3)
(2)f(n)(0)?C2(0)v(n?2)(0) nuv??1?(x?1)?1 v???(?1)(x?1)?2 1?xv(n?2)?(?1)n?3(n?3)!(x?1)?(n?2)(?1)n?1(n?3)! ?(x?1)n?2v(n?2)(0)?(?1)n?1(n?3)!
f(n)n(n?1)(?1)n?1n!n?1(0)?2(?1)(n?3)!?
2!n?22x2(?1)n?1xn????) 【解法2】 f(x)?x(x?2n(?1)n?3(?1)n?1?等式右端x的n次项系数an?．
n?2n?2f(n)(0)(?1)n?1n!(n)又an?，则f(0)?ann!?
n!n?2【例20】设f(x)?【详解】f(x)?x(n)，求f(x)
x2?5x?6xx32??? 2x?5x?6(x?2)(x?3)x?3x?2(n)?3?f(n)(x)???x?3??令?(x)??2????
x?2??(n)1?(x?3)?1 x?3??(x)?(?1)(x?3)?2，???(x)?(?1)(?2)(x?3)?3 ?(x)?(?1)n!(x?3)(n)n?(n?1)(?1)nn! ?n?1(x?3)则 f(n)3(?1)nn!2(?1)nn! (x)??(x?3)n?1(x?2)n?1n ?(?1)n!?4??32 ?n?1n?1?(x?2)??(x?3)4(n)【例21】设f(x)?sinx?cosx，求f22(x)
【详解】 f(x)?1?2sinxcosx?1? f?(x)??2sin2xcos2x??sin4x
12sin2x 2(x)??4n?1sin(4x?(n?1))
2【例22】设f(x)在(??，??)上二阶可导,f(0)?0，
f(n)??f(x)?,x?0 g(x)??x
?x?0?a1)确定a使g(x)在(??,??)上连续.
2)证明对以上确定的a,g(x)在(??,??)上有连续一阶导数. 【详解】1)显然g(x)在x?0处连续，而
limg(x)?limx?0x?0f(x)?f?(0) x则若a?f?(0)时g(x)在(??,??)上连续. 2)当x?0时，
xf?(x)?f(x) ， 且g?(x)连续. 2xg(x)?g(0)当x?0时，g?(0)?lim
x?0xf(x)?f?(0)f(x)?f?(0)x =limx ?lim2x?0x?0xxf?(x)?f?(0)f??(0)? =lim（导数定义）
x?02x2xf?(x)?f(x)x(f?(x)?f?(0))?xf?(0)?f(x)limg?(x)?lim?lim x?0x?0x?0x2x2f?(x)?f?(0)f(x)?xf?(0)f??(0)f??(0)??lim?lim?f(0)???g?(0) =2x?0x?0x22xg?(x)?则g?(x)在x?0处连续，故g(x)在(??,??)上有连续的一阶导数.
?2?x2(1?cosx),?1,【练习】设f(x)???1x??cost2dt,?x0x?0x?0,试讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性. x?0、【详解】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.
12?x22(1?cosx)2?1, limf(x)?lim?lim2???x?0x?0x?0xx2x?0??limf(x)?limx?0?x0cost2dtxcosx2?lim?1, x?0?1故f(0?0)?f(0?0)?f(0),即f(x)在x?0处连续.
1x2costdt?1?f(x)?f(0)0f??(0)?lim??lim?xx?0x?0x?0x14?xcostdt?xcosx?1?02?lim?lim?lim??0,x?0?x?0?x?0x22x2xx22
2(1?cosx)?12f(x)?f(0)xf??(0)?lim?limx?0?x?0? x?0x2(1?cosx)?x22sinx?2x2(cosx?1)?lim?lim?lim?0.x?0?x?0?x?0?x33x26x即f??(0)?f??(0)?0,故f(x)在x?0处可导,且f?(0)?0.
【例23】（01,2）设函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定,则曲线y?f(x)在
点(0,1)处的法线方程为 . 【详解】在等式e2x?y?cos(xy)?e?1两边对x求导, 其中y视为x的函数，得
e2x?y?2x?y???sin(xy)?xy???0，即e2x?y?(2?y')?sin(xy)?(y?xy')?0
将x=0, y=1代入上式, 得e?(2?y')?0，即y'(0)??2. 故所求法线方程斜率k?根据点斜式法线方程为：y?1??11?，?2211x, 即y?1?x,. 22【例24】（04，1） 曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为 . 【答案】y?x?1
【详解】方法1：因为直线x?y?1的斜率k1??1，所以与其垂直的直线的斜率k2满足
k1k2??1，所以?k2??1，即k2?1，曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方
程的斜率为1，即y??(lnx)??1?1，得x?1，把x?1代入y?lnx，得切点坐标为x(1,0)，根据点斜式公式得所求切线方程为：y?0?1?(x?1)，即y?x?1