（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV，计算?及?的值。 解：（1）求平衡间距r0
由
du(r)?0，有：
drr?r01m?n?m??m?n?????0?r?0??m?1n?1r0r0.?n???n??????m??1n?m
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）
（2）求结合能w（单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin
即：W??U(r0)??（3）体弹性模量
?r0m??r0n （可代入r0值，也可不代入）
r02由体弹性模量公式：k?9V0???2U????r2?? ??r0（4）m = 2，n = 10，r0?3A， w = 4eV，求α、β
r0???10???2???r18?5????? ①
????18 U(r0)???20?r.10??4?5r02???(r08?5??代入)
?W??U(r0)??4??4eV ② 5r02?19将r0?3A，1eV?1.602?10J代入①②
??7.209?10?38N?m2 ??1152??9.459?10N?m（1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)?N??(?m?n) 2rr1n?n?m?n?)m ?0，?m?1?n?1?0，r0?(m?r0r0dU平衡条件
drr?r0（2）单个原子的结合能
6
11n?n???W??u(r0)，u(r0)?(?m?n))m ，r0?(2m?rrr?r01mn?n??mW??(1?)()m
2nm??2U)?V0 （3）体弹性模量K?(2V0?V晶体的体积V?NAr，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)?3N??(?m?n) 2rr?U?U?rNm?n?1??(m?1?n?1) ?V?r?V2rr3NAr2?2UN?r?m?n?1?[(?)] ?V22?V?rrm?1rn?13NAr2?2U?V2N1m2?n2?m?n??[?m?n?m?n] 229V0r0r0r0r0V?V0由平衡条件
?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n (m?1?n?1)?0r0mr02r0r03NAr02?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 229V0r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n) 2r0r0?V?V0mn(?U0) 29V0体弹性模量K?U0mn 9V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV
1?mn?n?1mn?r0?()m，W??(1?)()n?m
m?2nm???
W10?r0，??r02[10?2W] 2r07
??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2
2.6、bcc和fcc Ne的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．
＜解＞u(r)?4??()12?()6?,u(r)?N(4?)?An()12?Al()6?
r?2rr??r?2A6A1261?du(r)?6??u0??N????0?r0?2A62A12?r?r????1????
??bccu(r0)bccA62A612.252/9.11??()/()??0.957
??fccu(r0)fccA12A1214.452/12.13
2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为??50?10J,??2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计
算值比较．
＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
6???12???12??6????U?2N???Pij????Pij???.
?R??R??j??i??6??j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji???50?10erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126因此，计??2.96??2.96??erg??12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16?????????16算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大
差别的原因．
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第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，?nj?ajsin(?jt_naqj??j)，
?j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位
移。
＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
?n???nj??ajsin(?jt?naqj??j) （1）
jj2*2*?n????nj????nj????nj???nj??nj?
????????jjjj?j?由于?nj??nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，
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2可以忽略不计。所以?n???j2nj
由于?nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
1??T02j?T00a2jsin(?jt?naqj??j)dt?12aj （2） 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，?nj的动能时间平均值为
1Tnj?T0?L0dx?T00?1?d?nj?2??wja2T01j222dt?Lasin(?t?naq??)dt??wLa?????jjjjjj ?02?dt??2T04???其中L是原子链的长度，?使质量密度，T0为周期。 所以Tnj?112?w2La?KT （3） jj422）式有?nj?2因此将此
KT PL?2jKTKT1? ?22PL?jPLj?j所以每个原子的平均位移为
22?n????nj??jj
3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。
解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
??2n???(2?2n??2n?1??2n?1)m?牛顿运动方程
??2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)M?N个原胞，有2N个独立的方程
设方程的解
?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到
2??(2??m?)A?(2?cosaq)B?0 ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，
2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，则
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M) 10