两种不同的格波的色散关系
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM{1?[1?sin2aq]}2mM(m?M)12
一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
???当M?m时
4?aqcosm24?aqsinm2，
???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa)?， 22???(2
?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如
H2这样的双原子分子晶体。
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：
??2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?
??2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2nm?体系N个原胞，有2N个独立的方程
1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2方程的解：
?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，将解代入上述方程得：
?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222
2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：
11
(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0
1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0 )?0
因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0
2c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)
22当q?0时，???0(11?121)，
???22?0???0
当q??a时，???(11?81)，
220???20?0???2?0
（2）色散关系图：
3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2?????0???12
V?ds，并带入上边结果有
?q?(q)?dsV1A1/2V11/2 f???????4?????????????00331/2223/2?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV
3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。
证明：在k到k?dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n?dn间圆环的面积2?ndn，且
2
L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?则
2?2?2?v?2
12
3sE?2?v?2??m03s?kBT???2d??E?0e??/kBT?12?v?2?2?E)s?T2 ?T3??DD??????????d?kT?B??kBTe??/kBT?12?3?3skT??B??2?v?2?2?xDDx2dx， xe?1T?0时，E?T3,?Cv?(
???q?3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F?U0?kBT??n??
kTq?B???q?1????q证明:量子谐振子的自由能为F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT?????? ????经典极限意味着（温度较高）kBT???g 应用ex?1?x?x2?... 所以e???qkBT???q??1?????...
kBT?kBT???q2??q?????q?1因此F?U????q??kBT?n?1?1???U0?kBT?n??
2kTkTqq?B??B?其中U0?U?
3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1??q ?2q1??，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V??和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94???k?得E?NkB?D ，由于???N?mBD0mm23816?vs82一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．
3.11、一维复式格子m?5?1.67?1000A学波?max，声学波?max。 ,?min?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。
13
0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。
＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10
?omax2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm13?1???5.99?10s 24m5?1.67?10A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）??max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV
o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eVAn（3）max?1eA??max/kBT?1O?0.873,nmax?1eO??max/kBT?1?0.221
Onmin?1eO??min/kBT?1?0.276
（4）??
2?c??28.1?m
第四章 能带理论
14
4.1、根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们的特性．说
2明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。
＜解＞令k???a，k????a，简并微扰波函数为??A?k0(x)?B?k0(x)
0*??E(k)?E??A?VnB?0
0E VnA????k???E??B?0 取E?E?
带入上式，其中E??E0(k)?Vn
V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是
A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An??ea?=sinx ?eaL??取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B
A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An?ae?ecosx =??aL?? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a?时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，
akn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。
4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?*k?的0级波函数。 2a?2??i2?mxximx)x1ikx1ikx1i21i2a?(m?1aaa4e?ee?e?e?e＜解＞?(x)? LLLL?x1i2?0,m?0,?(x)?ea 第一能带：m?2aL?*k 15