2???ixxi2?2?1i3*a2a2a第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（e=e）??k(x)?e
aaL?2?5?xixix2?2?1i21*第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?ea?ea?e2a
aaLL
4.3、电子在周期场中的势能．
12m?2?b2?(x?n)a?, 当na?b?x?na? b ??2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b
其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．
＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
V(x)?11a1a?bV(x)?V(x)dx?V(x)dx L?La?ba??b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是
1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx???b?ba2a2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12。 ?m?b?6?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
V(x)?V0?m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx??002b2b2bb2bm?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx
?2u2musinmu?2cosmu??????m3sinmu得 m2?Eg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式
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m?2Eg2?b 4.4、
?b0(b?x)cos22?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2
解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：
?E(k)??s?J0?sRs?近邻????ik??(Rs) J(Rs)e?在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm?0，则这12个最近邻的坐标是：
①
aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222②
③
由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即?s(?r)??s(r)
????????*∴在近邻重叠积分?J(Rs)???i(??Rs)??U(?)?V(Rs)???i(?)d?中，波函数的贡献为正
∴J1＞0。
于是，把近邻格矢RS代入Es(RS)表达式得到：
???s?E(k)??S?J0?J1Rs?近邻aaa(kx?ky)?i(kx?ky)?i(?kx?ky)?i(?kx?ky)??ia222?e?e?e2=?S?J0?J1?e
??e???ik?Rs
?ea?i(ky?kz)2?ea?i(ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2+ea?i(kx?kz)2?ea?i(kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?? ?=?S?J0?2J1??cos(kx?ky)?cos(kx?ky)???cos(ky?kz)?cos(ky?kz)?
????a2a2????a2a2??a?????cos(kz?kx)?cos(kz?kx)??
2???
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?cos(???)?cos(???)?2cos?cos?
=?s?J0?4J1?cos??aaaaaa?kxcosky?coskycoskz?coskzcoskx? 222222?（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
aaaa(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) 2222aaaa(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1) 2222?aaaEs(k)??s?J0?8J1(coskxcoskycoskz)
222
4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的
00费米能级EF及EF处的能态密度。
?ika?ika＜解＞(1),E(k)??s?J0?J1(e?e)??s?J0?2J1coska?E0?2J1coska
????ik?Rs??E(k)?E?J0??J(ps)e? ??(2) ,N(E)?2?Ldk2Na1N?2??? 2?dE?2J1asinka?J1sinka(3), N??0kF00?2NakFNa?002?(k)?2dk?2??2kF??kF?
2??2a00EF?E(kF)?E?2J1cos?2a0?a?Es,N(EF)?N?J1sin?2a??aN ?J1
4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7
＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A?第一布里渊区如图所示
2??2??i,B?j aa 18
?a ??a 0 ??a ?
?a
区边中点的波矢为KA???????????i,角顶B点的波矢为KB???i???j.a?a??a??22自由电子能量??Kx2?Ky?Kz2?,?2m22222A点能量?A??????????2Kx??????, 2m2m?a?2m?a?
222?2?2?????????2?????22B点能量?B?Kx?Ky????????????2???,所以?B/?A?2
2m2m???a??a???2m???a???b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为A??第一布里渊区如图7—2所示．
?2??a???2?i,B?????a???2?j,C?????a???k, ?
?2???A点能量?A????;2m?a?2222?2?2????????????2?????222B点能量?B?Kx?Ky?Kz???????????????3???,
2m2m???a??a??a???2m???a???2所以?B/?A?3
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理论，自由
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?222Kx?Ky?Kz2?，FerM面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体电子的能量为???2m4?积
34????V?????2??N?1.047N ，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为??3??3a3???a??2??33其中V?Na3
二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953
个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．
4.10、
解：设晶体中有N个Cu原子，向其中掺入x个锌原子。则晶体中电子的总数为： (N-x)+2x=N+x
由于Cu是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为：
N 4其倒格子为体心立方，倒格子的边长为：
4?43?，对角线的长度为： aa于是：布里渊区边界到原点的距离为：
143?3??? 4aa3? a即：当Fermi球与第一布里渊区边界相切时，kF?又由：2?43??kF?N?x 33?2??V3N?xkF33?33???2?? 233V3?3?aa于是有：
N?x3?N?x3??3?? N3aN4a4 20