?x3???1?0.3597 N4x0.35970.3597???0.56 N?x1?0.35970.6403?即：当锌原子与铜原子之比为0.56时，Fermi球与第一布里渊区边界相接触。
4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???.
?a??a?用基本方程，近似求出布里渊区角?????,?处的能隙． aa???,b??,? ＜解＞以ij表示位置矢量的单位矢量，以b12表示倒易矢量的单位矢量，则有，
??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi 12211?g2b2,g1,g2为整数。a??晶体势能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???. aa?????i2??x?i2??x??i2??y?i2??y?iG?11?U?r???U?e?ee?eUe????G?11?????G?11?其中UG?11???U，而其他势能傅氏系数UG?10??UG?20??...?0。这样基本方程
??k???C?K???UGG(K?G)?0变为
G??K???C?K??UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???0求布里
渊区角顶?111????,?，即k?G(,)?G?11?处的能隙，可利用双项平面波近似
222?aa?来处理。
??C(K)eiKr?C(K?G)ei(K?G)r当K?11G?11?,K??G?11?时依次有 2211K?G?11???G?11?,K?G?11???G?11?而其他的K?G?11?，
22K?G?11??G?11?，所以在双项平面波近似下上式中只有
?1??1?C?G?11??,C?K?G?11???C??G?11??;?2??2? ?1??1?C?G?11??,CK?G?11??C??G?11??;?2??2??? 21
???1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u
?u ??1?? =0，因为
2G?11?2?1????2?1??222G?11????12G?11?2m??2G?11?????ma2?2(???)2?U2?0解得?=??U??2由行列式有ma2?U, 所以在（?,-?aa）处的能隙为??=?+????2u.
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka)，是电子的质量。
试求（1）能带宽度；
（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。
解：（1） E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka) ?2 =1ma2?78－coska+2
8(2coska－1)] ＝?24ma2?(coska－2)2
－1? 当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2?
E(k)?2?2maxma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?E?2?2minma2
22
其中a为晶格常数，m
（2）??*1dE(k)?1?(sinka?sin2ka)
?dkma4??2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1
2???k2?? 当k?0时,带底，m*?2m 当k??
5.5、
?2时,带顶，m*??m a3?1解：（1）电子的运动速度：v??kE(k)
??dvd1?1dE?(?kE)??k?∴ 加速度： dtdt??dt由于单位时间内能量的增加=力在单位时间内作的功
??dE?ds??1??F??F?v??kE?F 即：dtdt??dv1???1?E?E?E∴?2?k[?kE?F]?2?k?[F1?F2?F3] dt???k1?k2?k3写成分量的形式：
?1dv11??2E?2E?2E11?2?2F1?F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k1?k2?k1?k3?m11m12m13?dv21??2E?2E?2E111?2?F1?2F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k2?k2?k2?k3?m21m22m23dv31??2E?2E?2E?111?2?F1?F2?F?F?F?F3 3?12dt???k3?k1?k3?k2?k32?m31m32m3311?2E其中： （i,j=1,2,3） ?2mij??ki?kj2?k32?2k12?2k2由题知：E? ??2m12m22m3 23
111111?2E1容易得出： ?,??22? 同理：
m22m2m33m3m11??k1m11111111?2E?????0 ?2?0 同理：
m13m21m23m31m31m12??k1?k2?dv1?m1dt?F1??dv故运动方程为：?m22?F2
dt??dv3?m3dt?F3?（2）当存在磁场B作用时，电子将受到洛仑兹力作用
????F??ev?B
?当B相对于椭球主轴的方向余弦为?,?,?时，电子的运动方程可写成：
??v?B?v1?i?jv2???v3?(v2B??v3B?)i?(V3B??V1B?)j?(V1B??V2B?)k
?kB?B?B?∴ 电子的运动方程可写成：
?dv1?v32??vB3?)??v2?3?m1dt?F1??e(vB??dv?v 1∴ ?m22?F2??e(vB3??VB1?)??v3?1dt??dv3?v21??VB1?)??v1?2?m3dt?F3??e(vB?其中：?1?eB?,?2?eB?,?3?eB?
231?由于电子在磁场B作用下作周期性运动，故可设试探解：
v1?v10ei?tv2?v20ei?t 代入上述方程组可得： v3?v30ei?t 24
?i?m1v1??2v3??3v2?i?m1v1??3v2??2v3?0???i?m2v2??3v1??1v3 即??3v1?i?m2v2??1v3?0 ?i?mv??v??v??v??v?i?mv?0331221233??21v1,v2,v3有非零解的条件是
i?m1?3?2?3i?m2??1??2??1?0 i?m3222 ?im1m2m3?3?i?m1?1?i?m2?2?i?m3?322222m1?1?m2?222m1??m2??m3?2?m3?3即：??=eB
m2m2m3m1m2m32mmme2B22∴?=*2 m*?221222322
mm1??m2??m3?2
??m1m2m3eB即：?? 其中：m*??22 证毕 2222?m*m??m??m?23?1?
1/2第六章 金属电子论
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