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考纲导读 概率
（一）事件与概率
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.（二）古典概型
①1.理解古典概型及其概率计算公式.
②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。（三）随机数与几何概型
①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②2.了解几何概型的意义.
知识网络 随机事件的概率 等可能事件的概率 概率 互斥事件的概率 应用 相互独立事件的概率 高考导航 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好
铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。
第1课时 随机事件的概率
基础过关 1．随机事件及其概率
(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．
(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．
(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率
- - 1 - -
m总是接nfeimath
近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．
(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是0?P(A)?1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．2．等可能性事件的概率
(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是1．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A
n的概率：P?A??典型例题 mn例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；
(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）
333CaCaAaa3A．3 B．3 C． D．3Aa?b(a?b)3Aa?bCa?b(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？
解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有C82?28种不同结果，从5个白球中取出2个白球
2?10种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为P(A)?有C5105?2814（2）
a3(a?b)3 （3）P?11C15?C352C50?37变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则
（ ）
19A．P10?1P 1 10B．P10?P1
C．P10＝0 解：D
D．P10＝P1
例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
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(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.
3422C2C2111解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件A.P(A)?2?2???.
61060C4C5（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得
211112CnCn?CnC2?C2C2312n2????P(B)?1??.P(B1)?2222443(n?2)(n?1)C4CnC4Cn?2?2P(B2)?2C222C4Cn?2?2Cn?n(n?1)6(n?2)(n?1)2n2所以P(B)?P(B1)?P(B2)?3(n?2)(n?1)?n(n?1)312
，故n＝2.?，化简，得7n－11n－6＝0，解得n＝2，或n??（舍去）
76(n?2)(n?1)4变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 A． C． 解：A
3727 （ ）
B．D．
38928例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用?表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于20分到40分之间的概率.
3111C5?C2?C2?C23C10解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)??23（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(“?＝3”或“?＝4”)＝P(“?＝3”)＋P(“?＝4”)＝
2313??151030变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：① 这个三位数字是5的倍数的概率；②这个三位数是奇数的概率；
153525③这个三位数大于400的概率.解：⑴ ⑵ ⑶
例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得
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优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？
（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？
6
解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数C20．由
于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．
6(1)记“他答对5道题”为事件A1，由分析过程已知在这C20种结果中，他答对5题的结果
651有C8?C8C12?700种，故事件A1的概率为P?A1??70035?.61938C20(2)记“他至少答对4道题”为事件A2，由分析知他答对4道题的可能结果为
65142C8?C8C12?C8C12?5320种，故事件A2的概率为：P?A2??53207?651C20答：他获得优秀的概率为
357，获得及格以上的概率为.193851变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.
(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
16(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？
解：（1）P(A)?3C55A5?112（2）由于3人坐在指定位置的概率
11<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人12622C55A5中有2人坐在指定位置上为事件B，则P(B)?16?1，又由于坐在指定位置上的人越多其概6率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．
小结归纳 1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．
2．如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P?A??m.从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其
n - - 4 - -
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中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此P?A??Card?A?Card?I??m.从排列、组合的角度看，nm、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．
3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．
第2课时 互斥事件有一个发生的概率
基础过关 1． 的两个事件叫做互斥事件．
2． 的互斥事件叫做对立事件．
3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中 就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：“A1?A2???An”表示这样一个事件，在同一试验中，A1,A2,?,An中 即表示A1?A2???An发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．
6.由于A?A是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B)，故P(A?A)?P(A)?P(A)?1，于是
P( A)= ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率
较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．
典型例题 例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.解：① 0.49；② 0.03．
变式训练1. 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，?，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于 A． C．
59 （ ）
B．
131849
5 18 D．
解：D
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