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通常用希腊字母?，?等表示．
2．如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
[来源:学科网ZXXK]
3．从函数的观点来看，P(?＝xk)＝Pk，k＝1， 2， ?，n，?称为离散型随机变量?的概率函数或概率分布，这个函数可以用 表示，这个 叫做离散型随机变量的分布列．
4．离散型随机变量分布列的性质
(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即Pi ． (2) 所有这些概率值的总和为 即P1?P2?P3??? ．
(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P???k?? ，有了这个函数，就能
nn?kkk写出它的分布列，由于Cn是二项式展开式?的通项，所以称这个分布为P?1?P???1?P??P??二项分布列，记作?~B?n,P?. 例1. 袋子中有1个白球和2个红球．
⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数?的分布列． ⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数?的分布列．
⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数?的分布列．
⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数?的分布列． 解： ⑴??1,2,3.
P???1??11?,13A31A2?11?,21?13AA23?典型例题
P???2??1P(??2)＝
2A2A2?1313P???3??3?.3A3P(??3)＝
2A2?13A3?1 3?所求?的分布列是
- - 11 - -
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? 1 1 P 32
1 33
1 3
⑵?每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是2，?所求的分布列是
313?
P ⑶ ? 1
1 1 32 21? 333
?2?1??? ?3?32? ?
n
?2????3?n?1?
1? 3?
P
2 211 ? 333?3?3
24
35
4?2?1?2??2?1??? ??? ?? ?3?3?3??3?31?⑷??~B??5,?,
∴ P＝(?＝k)＝C5()·()其中k?0,1,2,3,4,5. ∴所求?的分布列是
?
k
13k
235－k
，
0
32 2431
80243[来源:学+科+网Z+X+X+K]2 80
2433
40 2434
10 2435
1 243P
变式训练1. ?是一个离散型随机变量，其分布列为
? P -1 1 20 1?2q1
22q2 则q ＝ A．1 C．1?解：D
22
（ ）
B．1?D．1?
22例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以?表示取出球的最大号码，求?的分布列．
3解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C6，事
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312；事件件“??3”包含的基本事件总数为C3，事件“??4”包含的基本事件总数为C1C312；从而有 12；事件??6包含的基本事件总数为“??5”包含的基本事件总数为C1C1C5C4P???3??P???4??P???5??P???6??3C33C6?12012C1C33?320C612C1C43C612C1C53C6
??31012∴随机变量的分布列为：
?
3
1 204
3 205
3106
1 2P
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记?为2粒中优质良种粒数，则?的分布列是 . 解：
?
0 0.49
1 0.42
2 0.09
P
例3. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有?部电话占线，试求随机变量?的概率分布. 解：
?[来源:学#科#网] 0 0.09
1 0.3
2 0.37
3 0.2
4 0.04
P
变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为?，求随机变量?的概率分布. 解：
?
0
9 241
8 242
[来源:学§科§网] 4
1 24P
小结归纳 6 241．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即A与A，A?A是必然
kk事件），在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率Pn(k)?CnP(1?P)n?k就是二项式
[(1?P)?P]n展开式中的第k?1项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件A,B的概率均不
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为0，1时，“若A,B互斥，则A,B一定不相互独立”、“若A,B相互独立，则A,B一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．
2．运用P(A)?,P(A?B)?P(A)?P(B),P P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自(A?B)?成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当A,B为相互独立事件时，运用公式
P(A?B)?P(A)?P(B)mn便错．
3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”： （1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． 第三步，运用公式求得．
（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．
m等可能事件：P(A)?
n和事件
互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0 独立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等
kkP(1?P)n?k n 次独立重复试验：Pn(k)?Cn第4课时 离散型随机变量的期望与方差
基础过关 1．若离散型随机变量?的分布列为P???xi??Pi,
i?1,2,3,?,n,?.则称E?? 为?的数学期望．它反映了离散型随机变量
取值的平均水平．
2．对于随机变量?，称D??
为?的方差．D?的算术平方根??? 叫做?的标准差．随机变量?的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ． 3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关． 平均数：x?1111?x1??x2????xn??x1?x2???xn?
nnnn - - 14 - -
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＝x1?111＋x2?＋?xn? nnn1?2s?x1?x样本方差：
n?????222?x2?x???xn?x? ?????2＝(x1?x)?111?(x2?x)2??...?(xn?x)2? nnn恰是x1,x2,?,xn出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．
以上两式中
1n4．数学期望与方差的性质：若??a??b（?,?为随机变量），则
E??E?a??b?? ，D??D?a??b?? ．
5．服从二项分布的随机变量?的期望与方差：若? 典型例题 ~B?n,P?, 则E??nP,D??nP?1?P?.
例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量?表示所选3人中女生的人数． ①求?的分布列； ②求?的数学期望；
③求“所选3人中女生人数?≤1”的概率. 解：① ? 0 1 3 52 1 5
P
1 5②E?＝1
③P(??1)?P(??0)?P(??1)?
变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设?为取得红球的次数，则?的期望E?＝ A． C．
3445 （ ）
B．
12 51319 7D．
解：B
例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数?的期望和方差.
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