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解:?~B?30,P?,其中P?1?4?4?5.所以E??30?5?50.D??30?5?4?200.
669939927变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分?的概率分布和数学期望． 解：
52 7例3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表： 射手甲 击中环数?1 概率P 射手乙
击中环数?2 概率P 8 0.4 9 b 8 a 9 0.6 10 0.2 10 0.4 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 解：a?1?0.6?0.2?0.2,b?1?0.4?0.4?0.2
E?1?8?0.2?9?0.6?10?0.2?9,D?1??8?9??0.2??9?9??0.6??10?9??0.2?0.4E?2?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9,D?1??8?9??0.4??9?9??0.2??10?9??0.4?0.8?E?1?E?2,D?1?D?2.222222
∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．
变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？ 解：采用场外促销方式
例4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）. 解：联合甲、乙，总费用最少为81万元
变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望
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利润是多少？（精确到0.001）.
解：用随机变量?表示1周5天内发生故障的天数，则?服从地一项分布?~B(5,0.2)， 从而P(??0)?0.85?0.328，
1P(??1)?C50.2?0.84?0.410，P(?＝2)＝0.205
P(?≥3)＝0.057设?为所获得利润，则
E?＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057 ＝5.215（万元） 小结归纳 1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论： 一般地，若离散型随机变量?的分布列为
? ? 则期望
? x1 P1 x2P2 ? ? xn ? ? P Pn E??x1P1?x2P2???xnPn??，
222[来源:学科网ZXXK]方差D???x1?E??P1??x2?E??P2????xn?E??Pn??，
2标准差???D?,E?a??b??aE??b,D?a??b??aD?.
若?~B?n,P?，则E??nP,D??nPq，这里q?1?P
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概率章节测试题
一、选择题
1．已知非空集合A、B满足A??B，给出以下四个命题： ①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 其中正确的个数是( ) A、1
B、2
C、3
D、4
②若x?A，则x∈B是不可能事件 ④若x?B，则x?A是必然事件
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为
80，则此射手每次射81击命中的概率为（ ） 1212A. B. C. D. 33453．设?是离散型随机变量，p(??x1)?214，p(??x2)?，且x1?x2，现已知：E??，3332，则x1?x2的值为（ ） 95711(A) (B) (C) ３ (D)
333D??4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ） A．
1 10B．
1 5C．
3 5D．
4 55．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( ) A.
1 3 B.
111 C. D. 2466．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( ) A.
1 3 B.
111 C. D. 2467．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ） A.
1 5 B.
1 4 C.
1 3 D.
1 28．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为
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（ ）
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27 12549．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为
522，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ） 531241659A． B． C． D．
25257575A．
B．
C．
D．
10．从集合{1, 2, 3, ? , 10}中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.
36 12554 12581 1251 2 B.
1 3 C.
1 6 D.
1 60二、填空题
11．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX?0，DX?1，则a? ，
b? ．
12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 . 三、解答题
15．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
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（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率； （3）设?是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数， 求随机变量?的概率分布与期望.
17．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率； （2）求中奖的概率．
18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是
1. 2（1）求小球落入A袋中的概率P(A);
（2）在容器入口处依次放入4个小球,记?为落入A 袋中小球的个数,试求??3的概率和?的数学期望E?.
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