量与基本物理量组成的π表达式
（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数。π参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 （5）写出描述现象的关系式
或显解一个π参数，如：
或求得一个因变量的表达式。 选择基本量时的注意原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。
2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 例题3》 例题4》 例题5》 例题6》
例3：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速υ ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形式。 解：
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。 π1=υx1Dy1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1] 则
L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0 由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有： π2=υx2Dy2ρz2△ π3=υx3Dy3ρz3g 可得：
x2=0， y2=-1， z2=0 x3=-2， y3=1， z3=0
写成π数为：
即 解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例4：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。 解：F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0 基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4个
对π1：
对π2：
同理得 ：
例5：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L以及大小直径D1,D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。 解：函数式为：
图5-1
选取ρ，Q，D1为基本变量，则存在6-3=3个π数
将π数用量纲表示：
类似地：
并解一个π参数：
即：
例6：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。已知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。
解 拟定函数关系式为f（D，υ ，ρ，τ0，μ，△）=0 从各独立影响因素中选取D（几何量），υ（运动量），ρ（动力量）为基本量建立（6-3 ）π项：
对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解ai，bi ，ci 。 对π1 ：
同理求得 将各π代入得 整理得
令
则
思考题
1.量纲分析有何作用？
答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。 2.经验公式是否满足量纲和谐原理？ 答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。
3.雷利法和布金汉π定理各适用于何种情况？
答：雷利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数≤4~5个， π定理是具有普遍性的方法。
本章小结
1.两液流流动相似必须满足：
（1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似；
（2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似； （3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点所受的同名方向相同，大小成一固定比例； （4）初始条件和边界条件相似；
2.相似准则：Re相似准则、 Fr相似准则、 Eu相似准则
原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似，压强会自行相似。
3. 基本量纲——具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。一般取[L-M-T]。
αβ
诱导量纲——由基本量纲导出的量纲。[X]=[L，T，Mγ]。
4.量纲和谐原理——凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。
5.量纲分析两种方法
雷利法——直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简单问题。
π定理——具有普遍性的方法。关键在于正确选择基本量。