15.（福建宁德3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°, 将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC， 设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为 ▲ ， △ADF是等腰三角形。
B
E
D
F 【答案】40°或20°。
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。 【分析】∵由旋转的性质知，CA=CD，∴∠CDA＝∠DAC＞∠DAF。 ∴△ADF是等腰三角形时，只可能DA=DF或AF=AD。
C
）α
30°（ A
当AF=AD时，设∠ADF＝∠AFD＝x，则∠DAF＝180－2x，又∠DAF＝∠DAC－30°＝x－30°，∴180－2x＝x－30°，解得x＝70。∴∠α＝180－2370＝40。
当DA=DF时，设∠DFA＝∠DAF＝x，则∠ADF＝180－2x，又∠ADF＝∠DAC＝x＋30°， ∴180－2x＝x＋30°，解得x＝50。∴∠α＝180－2（30°＋50）＝20。 三、解答题
1.（天津10分）在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A(3．0)，B(0，4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β． (I) 如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标； (Ⅱ) 如图②，当旋转后满足BC∥x轴时．求α与β之闻的数量关系； (Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)，
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【答案】解：(I)∵点A(3，0)，B(0，4)，∴0A=3，OB=4。
∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=OA2?OB2?32?42?5。 根据题意，有DA=OA=3。
如图①．过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB。
ADAMDM， ??ABAOBOAD9AD12 得AM??AO?， DM??BO?。
AB5AB596 又OM=OA-AM，得OM=3??。
55612 ∴点D的坐标为（，）。
55 ∴△ADM∽△ABO。有
(Ⅱ)如图②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB。
∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC。 又∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β。 ∴α=180°—2（90°—β）=2β。 （Ⅲ） 直线CD的解析式为，y??77x?4。 x?4或y?2424【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行的性质。 【分析】(I)作辅助线DM⊥x轴，由勾股定理求出AB的长，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。
(Ⅱ)由旋转的性质，知∠ABC=∠ACB，由三角形三内角和180的定理可得α=180°—2∠ABC。又由于BC∥x轴，可得∠ABC=90°—β，从而α=2β从而的关系。 （Ⅲ）
0
图1 图2
如图1，连接BD，作DF⊥x轴于F。由∠AOD=β=∠ABO可证△AOB≌△ADB，
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∴∠ADB=∠AOB=90。又∵∠ADC=90，∴B在直线CD上。 ∴可设直线CD方程式为y=kx+4。 由△AOE∽△ABO得
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OEOAOA?OB3?41224。 ??OE????OD?OBABAB555设D点坐标为?a,b?，则有
?a4?96=??ODF∽?BAO??a=?b3???25，解之得? 。 ?2?a2?b2??24??b=72?????25?5??77。∴直线CD的解析式为y??x?4。 24247 同样考虑∠AOD在x轴下方的情况，如图2，可得直线CD的解析式y?x?4。
24 代入直线CD方程y=kx+4，得k=?2.（浙江杭州6分）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=1。 （1）求证：∠A≠30°；
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积。
【答案】解：（1）∵BC+AC=1+2=3=AB，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
∵ sinA=
2
2
2
BC11?> =sin30°，∴∠A≠30°。 AB32（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，
∴圆锥的底面圆的半径AC=2，
∴圆锥的底面圆的周长=2??2?22?，母线长为AB=3， ∴几何体的表面积= ????221??22??3?2??6??2?6?。 2??【考点】勾股定理的逆定理，锐角三角函数，旋转，几何体的表面积。
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，利用三角函数计算出sinA， 然后与sin30°进行比较即可判断∠A≠30°。
（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为AC，母
线长为AB，所得几何体的表面积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算即可。
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3．（广西百色8分）直线y??x?2与反比例函数y=
k的图像交于Ａ、Ｂx两点，且与x, y轴交于C、D两点，A点的坐标为（－3，k＋4）. （1）求反比例函数的解析式
（2）把直线AB绕着点M（―1，―1）顺时针旋转到MN，使直线MN⊥x轴，且与反比例函数的图像交于点N，求旋转角大小及线段MN的长。 【答案】解：（1）将点A（－3，k＋4）代入直线y??x?2，
得k＋4=―（―3）―2，解得k＝―3， ∴反比例函数的解析式为y??3。 x（2）∵C、D两点的坐标为（―2，0）、（0，―2）， ∴在△OCD中，∠OCD＝45°。 ∴旋转角为45°。 把x＝－1代入y??3，得y?3。 x∴点M、N的坐标为（―1，―1）（―1，3）。∴MN的长度为4。
【考点】点的坐标与方程的关系，旋转的性质，等腰直角三角形的和性质。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A（－3，k＋4）代入直线y??x?2即可求出k，从而求出函数的解析式。
（2）由C、D两点的坐标可判断△OCD是等腰直角三角形，由旋转中心M点的坐标，根据旋转的性质即可求出旋转角等于∠OCD。将M点的横坐标代入y??的长度。
4.（湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）． 求证：BH?GD=BF
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG． 探究：FD+DG= ．请予证明．
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2
3，即可求出N点的坐标，从而求出MNx
【答案】解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF。
∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF。∴△BFH∽△DGF。 ∴
BFBH2
，即BH?GD=BF? DF。∴BH?GD=BF。 ?DGDF（2）BD。证明如下：∵AG∥CE，∴∠FAG=∠C。 ∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE。∴AF=AG。 ∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG。
又∵AB=AD，∴△ABF≌△ADG（SAS）。∴FB=DG。 ∴FD+DG=BD。
【考点】相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质，菱形的性质，旋转的性质。 【分析】（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案。
（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的关系。
5.（湖南娄底9分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1． （1）线段A1C1的长度是 ，∠CBA1的度数是 ． （2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形． 【答案】解：（1）10；135°。
（2）证明：∵∠A1C1B=∠C1BC=90°，∴A1C1∥BC． 又∵A1C1=AC=BC，∴四边形CBA1C1是平行四边形。
【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定。
【分析】（1）由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，根据旋转的性质可以得到A1C1=AC=10，∠CBC1=90°，而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出
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