16.（湖北襄阳10分）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点 （不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向 旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当
AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． AB【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，∴∠ADP+∠APD=90°。
∵∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPB=90°。∴∠ADP=∠EPB。
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP=∠A=90°， 又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，∴△PAD≌△EGP（AAS）。 ∴EG=AP，AD=AB=PG，∴AP=EG=BG。∴∠CBE=∠EBG=45°。 （3）当
AP1?时，△PFD∽△BFP。理由如下： AB21AP1设AD=AB=a，则AP=PB=a，∴BF=BP??a。
2AB422∴PD=AD+AP?55PBBF5a，，PF=PB2+BF2?a。 ∴。 ??24PDPF5又∠DPF=∠PBF=90°，∴△PFD∽△BFP。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。 【分析】（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证。
（2）首先证得△PAD≌△EGP，可以证得△BCG是等腰直角三角形，可以求得∠EBG=45°，即
可求得∠CBE=45°。
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，反之也成立。
17.（湖北咸宁10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
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（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．
【答案】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴△ABE≌△AGE（HL）。∴∠BAE=∠GAE。 同理，∠GAF=∠DAF。 ∴∠EAF=
12∠BAD=450
。 （2）MN，ND，DH之间的数量关系是MN2
=ND2
＋DH2
。 ∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°。∴∠HAN=∠MAN。 又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN（ASA）。∴MN=HN。 ∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°。 ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°。 ∴NH2
=ND2
+DH2
。∴MN2
=ND2
+DH2
。 （3）由（1）知，BE=EG，DF=FG。 设AG=x，则CE=x﹣4，CF=x﹣6． ∵CE2
+CF2
=EF2
，∴(x?4)2?(x?6)2?102。
解这个方程，得x1?12，x2??2（舍去负根）。
∴AG=12。∴BD=AB2+AD2=2AG2?122。
在（2）中，MN2=ND2＋DH2，BM=DH，∴MN2=ND2＋BM2
。 设MN=a，则a2?(122?32?a)2?(32)2， ∴a?52．即MN?52。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程。
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【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，从而证明角相等，从而求出解。
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论。 （3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果。
18.（内蒙古包头10分）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长），若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图（3）），当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．
【答案】解：（1）△OFC能成为等腰直角三角形。
①当F为BC的中点时，∵O点为AC的中点，∴OF∥AB。∴CF=OF=∵AB=BC=5，∴BF=
5。 25。 25，∴BF=0。 2②当B与F重合时，∵OF=OC=
（2）OE=OF。以图（1）证明如下： 如图，连接OB，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=
0
5， 20
∵∠EOB=90－∠BOF =∠FOC，∠EBO=45=∠C， ∴△OEB≌△OFC（ASA）。∴OE=OF。 （3）PE：PF=1：4。证明如下： 如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC， ∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°， ∴∠EPM=∠FPN。
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∵∠FMP=∠FNP=90°，∴△PNF∽△PME。 ∴PM：PN=PE：PF。
∵△APM和△PNC为等腰三角形，∴△APM∽△PNC， ∴PM：PN=AP：PC。
∵PA：AC=1：4，∴PE：PF=1：4。
【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度。
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF。
（3）过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：
PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4。 19.（内蒙古呼和浩特7分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG． （1）求证：EG=CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．
【答案】解：（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，即△BEG为等腰直角三角形。 ∴∠AGE=180°﹣45°=135°。
又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠AGE=∠ECF。 ∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°－∠AEB=∠CEF。 ∴△AGE≌△ECF（ASA）。 ∴EG=CF。
（2）画图如图所示： 旋转后CF与EG平行。
【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，旋转的性质，平行的判定。
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【分析】（1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可证△AGE≌△ECF，从而得出结论。
（2）旋转后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后CF与EG平行。
20.（四川自贡12分） 如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1．A1B交AC于点E，
A1C1分别交AC，BC于点D，F．
(1)试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； (2)求ED的长
【答案】解：（1）四边形BC1DA是菱形。理由如下：
∵∠ABC=120°，AB=BC，∴∠A=30°．
由题意可知∠A1=∠A=∠ABA1=30°，∴A1C1∥AB。 同理AC∥BC1。
∴四边形BC1DA是平行四边形。
∵AB=BC=BC1，∴四边形BC1DA是菱形。 (2)过点E作EG⊥AB于点G。 ∵∠A=∠ABE=30°，AB=1，∴AG=GB=
1。 21AGAG3∵cos∠A=。 ，AE??2??AEcosAcos303∴DE=AD-AE=1?3。 3【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，平行的判定，菱形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由旋转的性质和等腰三角形的性质，得四边形BC1DA是平行四边形和AB= BC1而得证。
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