《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换
上一章回顾
上一章“单输入单输出系统的时域分析”，其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。上一章所讲授的主要内容，可以概括为如下几个方面：
1、时域分析的基本概念
系统时域响应的概念和四种主要响应形式。 2、离散系统的时域分析
差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
3、单位冲击响应与单位样值响应
单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的具体求解方法。 4、卷积积分
卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分的重要性质。 5、卷积和
卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤。
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《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换
上次课“思考题”：
1．“卷积积分”与“卷积和”的相似之处与区别是什么？ 2．不进位乘法求“卷积和”需要注意的地方是什么？
从本次课开始，我们将进入信号与系统的
“变换域分析”
变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是：可以使我们观察到，信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而使我们可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。
本章所讲授的“傅立叶”变换，就是信号与系统在“频域”中的分析原理、方法和特性。
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《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换
第三章：傅里叶变换
3.1.概述
时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且， yf(t)?h(t)?f(t) 对于连续时间系统
yf(k)?h(k)?f(k) 对于离散时间系统
鉴于离散时间系统的“傅立叶变换”，属于“数字信号处理”课程的内容，因此在本章下面的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统。
本章将以正弦信号和虚指数信号ej?t为基本信号，论证任意输入
信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
在高等数学的级数分解中已经表明，任意一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为傅里叶级数，分解后的各次谐波的幅度和相位构成了周期信号的幅频特性和相频特性，并把幅频特性称为幅度谱，相频特性称为相位谱。而对非周期信号，如果引入频谱密度的概念，从而也对非周期信号作傅里叶变换，也可以得到非周期信号的频谱。从频谱的观点来分析信号与系统也称为频域分析法。由于频域分析法有许多突出的优点，因此它已称为信号与系统分析的重要手段之一。
下面首先引出周期信号的傅里叶级数，然后在傅立叶级数的基础上导出连续非周期信号的傅立叶变换。
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一、傅里叶级数的三角形式
对于给定周期信号，可以通过公式方便地得到其傅立叶级数的系数，它包含了各频率正弦分量的幅值及相位，这些系数与频率的关系，就是该周期信号的频谱，也称为频谱特性。一般地，周期信号的傅立叶级数有三角形式和复指数形式两种，因此其系数也有实系数和复系数两种表示形式。
2T其中，a0??2Tf(t)dt
T?2
这里，a0、an和bn称为三角形式傅立叶级数的系数。可见，an是n的偶函数，bn是n的奇函数。这里，n?1,2,3,? 将上式“同频率项”合并，可写为： 式（1）
该式即为三角形式的傅立叶级数表达式。
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?an?Ancos?n也即，?，n?1,2,3,? 式（2）
?bn??Ansin?n 可见，An是n的偶函数，?n是n的奇函数。
二、波形的对称性与谐波特性
例：周期矩形信号f(t)如图所示，若重复频率f=5 KHZ，脉
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