《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换
宽?为20?s，幅度A=10 V，求f(t)傅立叶级数展开的直流分量大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。
解：因为f(t)为偶函数，所以bn?0，故只有直流分量和余弦分量，并有An?an，利用公式求解如下： 直流分量：
2a0??TT2T?222A?2?10?20?102f(t)dt???Adt??T?T15?1032??6?2
A0a02 所以直流分量为???1
222n次谐波系数：
2T2?4An??an??2Tf(t)cos(n?t)dt??2?Acos(n?t)dt?sin?AnT?T?n?T2222~其有效值为：An?An
2将n?1代入上式，得基波有效值为：
24A??102~?sin?sin18??1.39 A1?2?T2?同理，当n?2和n?3时，得二次和三次谐波的有效值分别为：
24A2??52~?sin?sin36??1.32 A2?22?T2?24A3??102~?sin?sin54??1.2 A3?23?T23?三、傅里叶级数的复指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，
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因而经常采用复指数形式的傅里叶级数。考虑上面式（1），进而可从欧拉公式cosx?(ejx?e?jx)2推出：
考虑到An是n的偶函数，?n是n的奇函数，则：
1j?n?nF?Ae?Fe令复数n nn2则称Fn为指数形式傅立叶级数的复系数，也简称傅立叶系数，
因此由上式可以得到： ?f(t)?n????Fnejn?t 式（3）
该式即为复指数形式的傅立叶级数表达式。此式表明：任
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意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。其中Fn是频率为n?的分量的系数，F0?A02为直流分量。 结合式（2），并且有下式成立：
111j?nFn?Ane?(Ancos?n?jAnsin?n)?(an?jbn)
222将三角形式傅立叶级数系数an和bn带入上式，可得：
1Fn??T1 ??TT2T?2T2T?2f(t)?cos(n?t)?jsin(n?t)?dt 式（4）
f(t)e?jn?tdt 从而建立了Fn与n???的关系，即进入了频域。
3.2.非周期信号的傅里叶变换
3.2.1 周期信号的频谱及其特点 一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An～?和?n～?的关系分别画在以?为横轴的平面上得到的两个图，分别称为幅值频谱图和相位频谱图。因为n≥0（对于三角形式展开），所以称这种频谱为单边谱。也可画Fn～?和?n～?的关系，称为双边谱。
1??2??1????例：周期信号f(t)?1?cos?t???sin?t??
2?43?4?36?上海大学机自学院自动化系 朱晓锦
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试求该信号的基波周期T，基波角频率Ω，并画出它的单边频谱图。
解：首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
对照三角形式的傅立叶级数表达式：
显然1是该信号的直流分量。
，
因为，基波周期总是信号谐波周期的最小公倍数，原因可参看第一章关于“两个周期信号的和函数周期性”判断标准。
又因为：n????4，n?????3，所以：
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二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为?的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示，则由上面式（4）可直接求其频谱系数为：
sin(t)?Sa(t)为抽样函数（见教材P4页），则有： 考虑到：t
式（5）
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