《信号分析与处理》教案 第三章：傅里叶变换
1n??1n?则有：Fn?Sa()?Sa()，n?0,?1,?2,?
4244由于对于Sa(t)函数而言，过零点的自变量取值为： t?m?，m??1,?2,?（即m为除0之外的整数）
则对Fn而言，其过零点的取值必为：
n??2m? ，m??1,?2,? ?m?，? n??2?以??n?为横坐标，Fn为纵坐标，可得频谱图如下图所示。
因为??n?，n?0,?1,?2,?，对应上图可看到：
n?0,???0,对应的是周期脉冲信号f(t)分解的直流分量； n??1,?????,对应的是周期脉冲信号f(t)分解的基波分量；
n??2,????2?,对应的是周期信号f(t)分解的二次谐波分量； n??3,????3?,对应的是周期信号f(t)分解的三次谐波分量；
而在n??4,????4?时,因为：
1n??1n?14?1)?Sa()?Sa()?Sa(?)?0 Fn?Sa(4244444对应的恰是曲线的过零点，因此可以说周期信号f(t)分解的四次谐波分量为零；或f(t)的分解信号不包括四次谐波分量；
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在n的取值继续升高时，情况类同。 特点：
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频Ω的
整数倍；
(2)在频谱图上，谱线是以基频?为间隔等距离分布的； (3)一般具有收敛性，随着?增大总趋势减小，直至衰减为零。
下面我们看一下谱线结构与波形参数的关系
设前述的周期矩形脉冲宽度仍为?，幅度A仍为1，周期为
n?????T1，则由式（5）有：Fn?Sa()?Sa()
T12T12?
由图中可见谱线结构与波形参数的关系，当脉宽?维持不变，T1增大（即
T1不断增大），则相应频谱图上的谱线间隔（即??）变小，相应的频谱包络线
?T175
Sa(??2)的幅度也变小。
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不难推论，当周期T1无限增长，即T1??时，此时的周期矩形脉冲信号就成为非周期信号（非周期矩形脉冲），同时谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。但从图上也可以看出，此时各频率分量的幅度Fn也趋近于无穷小，即Fn?0，因此这样也就无法再用傅立叶级数来描述非周期信号的频域特性。
上图中，还画出了三种不同情况时周期信号的T1Fn~?的图形，由图中可见T1Fn的包络线为： T1Fn=T1??T1Sa(??2)=??Sa(??2)
可见，这一包络线（或T1Fn）与T1的变化无关。也就是说，随着T1??，虽然T1Fn图形的谱线间隔越来越密，并趋近于零，导致周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，但
T1Fn图形的幅度始终维持不变。
因此，可以考虑用T1Fn来描述非周期信号的频域特性。
3.2.2 非周期信号的傅里叶变换
非周期信号f(t)可看成是信号周期T→∞时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔?趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。但同时各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过这些无穷小量之间仍有差别。 由于T1Fn与T1的变化无关，为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令
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Fn F(j?)?lim?limFnT （单位频率上的频谱）
T??1TT??则称F(j?)为频谱密度函数。 由式（4）：
T1T?jn?t?jn?t22Fn??Tf(t)edt ? FnT??Tf(t)edt T??22 由式（3）：
f(t)?n????Fne?jn?t?n?????FnTejn?t1 T
F(j?)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j?)的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为:
??j?t???F(j?)?Ff(t)?f(t)edt?????1? ?1j?tF(j?)ed??f(t)?F?F(j?)????2???
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3.2.3 常用非周期函数的傅里叶变换(频谱)
1.
2.
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