图2-3-1 图2-3-2
即 T0tan(??d?)?T0tan??pdL?0
T0(tan??tand?)?Ttan??pdL?0
1?tan?tand?0两边同乘以1-tanαtandα后移项，得
T0tan??T0tand??T0tan??T20tan?tand??pdL?pdLtan?tand??0 T0tand??T20tan?tand??pdL?pdLtan?tand??0
当dL→0时，dα→0，tandα=dα→0。 略去含dLtandα的项并整理之，得
T0(1+tan2α) dα - pdL=0 T0dtanα - pdL=0 （2-3-1） 因为tan??y'，dL?1?y'2dx，式（2-3-1）可写为 T20dy'?p1?y' d x 分离变量，得
dy'pTdx
1?y'2?0为了简化公式，引入计算因数 k?p 得
dy'2T
01?y'2?2kdx 将等式两边积分，得 sh-1y' =2kx+C1 即 y' = sh (2kx+C1) （2-3-2） 在所取坐标条件下，有y'x?0?0，由此得C1=0，所求y'为
y'= sh 2kx dy= sh 2kxdx y?12kch2kx?C2
在所取坐标条件下，yx?0?0，C2?0?12kch2k?0??12k，得悬链线方程式为 y?12kch2kx?12k?12k(ch2kx?1) 设架空线的档距为l，悬点A（x1，y 1）、B（x2，y 2）间的高差为h，则
l?x2?x1?h?y? 2?y1?由式（2-3-3）和（2-3-4）得
h?12k(ch2kx112?1)?2k(ch2kx1?1)?2k(ch2kx2?ch2kx1) ?1sh2kx2?2kx1sh2kx2?kx21?1k22kshk(l?2x1)shkl 从式（2-3-4）和（2-3-5）解出x1和x2，得
x1?1kh1?2kshshkl?l2 32
2-3-3）
（2-3-4） 2-3-5）
2-3-6）
（ （ （
x2?1sh?1kh?l （2-3-7）
2kshkl2档距中点 xl/2?x1?x2?1sh?1kh （2-3-8） 22kshkl由图2-3-1可以看出，悬挂点A、B的连线至导线的距离，以平行于该连线的切线在导线上的切点
Q(xM,,yM)为最大，该切点的弧垂也最大。该切点的斜率y'=h/l，由式（2-3-2）得
sh2kxM?h
l xM?1sh?1h （2-3-9）
2kl导线在悬挂点的悬垂角（倾斜角）
1?1khl?1?1kh?kl) sh?)?tansh(shshkl2kshkl2?A?tan?1yA'?tan?1sh2kx1?tan?1sh2k(?tan?1(shsh?1khkhkhkhchkl?shklchsh?1)?tan?1(chkl?shklsh2sh?1?1) shklshklshklshkl2?1kh2 ?tan?1[khchkl?shkl(kh)?1]?tan ] （2-3-10） [cklh?kh(2?)klsh2shklshklshkl1khlkh?B?tan?1yB'?tan?1sh2kx2?tan?1sh2k(sh?1?)?tan?1[chkl?(kh)2?sh2kl]（2-3-11）
2kshkl2shkl二、导线的张力、弧垂与线长
导线上任意一点的张力，由图2-3-2可见为
T?T0sec??T01?tan2??T01?y'2?T01?sh22kx?T0ch2kx （2-3-12）
或 T?T0(1?ch2kx?1)?T0?p(ch2kx?1)?T0?py （2-3-13）
2k在悬挂点A、B的张力TA、TB分别为 TA?T0ch2kx1?T0ch2k(kh1?1khl?kl) （2-3-14） sh?)?T0ch(sh?1shkl2kshkl2即 TA?T0(chsh?1khchkl?shsh?1khshkl)?T0(sh2sh?1kh?1chkl?kh)
shklshklshkl2 ?T0[(kh)?1chkl?kh] （2-3-15）
sh2klkh1khl?kl) （2-3-16) TB?T0ch2kx2?T0ch2k(sh?1?)?T0ch(sh?1shkl2kshkl22(kh)即 TB?T0[?1chkl?kh] （2-3-17） sh2kl导线上任意一点至悬挂点连线的铅直距离称为该点的斜弧垂，简称弧垂。在图2-3-1所取坐标条件下，
悬挂点连线的解析方程式为
yR?hhh(x?x1)?y1?x?x1?y1 lllhhx?x1?y1?y ll所求弧垂为
fx?yR?y?2khl1(k)hh111?1 ?hx?h(1sh?)?[?1cklh??]?(kcxh2? )2ll2kshkl22kshkl22k2k2k 33
h1h?1kh1(kh)2?x?ch2kx?sh??1chkl （2-3-18） l2k2klshkl2ksh2kl将式（2-3-8）和（2-3-9）代入式（2-3-18）可求得档距中点的弧垂f和最大弧垂fM h1?1kh11?1khh1(kh)2?1khf?(sh)?ch2k(sh)?sh??1chkl 2l2kshkl2k2kshkl2klshkl2kshkl111(kh)22?1kh???shsh?1??1chkl2k2kshkl2ksh2kl(kh)2?1(chkl?1) 2shklT?0p(ph)24T02sh2pl2T0?1(chpl?1) （2-3-19） 2T0h1?1h11?1h1(kh)2h?1kh fM?sh?ch2ksh??1chkl?shl2kl2k2kl2ksh2kl2klshkl2hhkh1(k)hh?1?12 ? 1 ] （2-3-20） (sh?sh?)[2?kl1c?h?()2kllshklk2sklhl由式（2-3-19）和（2-3-20）求得中点弧垂与最大弧垂的误差为
h?1h(kh)2?1kh?(sh?sh)??1?2f?fMllshklshkl?f%??100%?fMh?1h(kh)2?1kh(sh?sh)??1chkl?llshklsh2klkl?h()2?1l?100% h()2?1lhh(kl?)2hhhl)?l?1()2?1?(sh?1?sh?12 （2-3-21） llshklshkl?l?100%hhkl?(kl?)2h?1hl)?l?1?(h)2?1(sh?sh?1llshklsh2kll以kl和h/l为变量由式（2-3-21）求得中点弧垂与最大弧垂的误差如表2-3-1，由表可见，以中点弧垂
作为最大弧垂时，其误差随着kl和h/l值的增大而增加。在一般情况下，kl和h/l都很难达到0.4，误差不会超过0.1%，对工程计算影响很小，故一般都以中点弧垂作为最大弧垂以简化计算。
表2-3-1中点弧垂与最大弧垂的误差（%）
h/l 当kl为下列数值时中点弧垂与最大弧垂的误差（%） 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.1 -0.000 -0.001 -0.002 -0.004 -0.006 -0.009 -0.012 -0.014 0.2 -0.001 -0.004 -0.009 -0.016 -0.025 -0.034 -0.045 -0.056 0.3 -0.002 -0.009 -0.020 -0.035 -0.053 -0.074 -0.097 -0.122 0.4 -0.004 -0.015 -0.034 -0.059 -0.089 -0.125 -0.164 -0.205 0.5 -0.006 -0.022 -0.049 -0.085 -0.130 -0.182 -0.239 -0.300 导线最低点至悬挂点的高差称为水平弧垂。在悬挂点不等高时一个档距内有两个水平弧垂，如图2-3-1所示。
fA?y1?1111khl11kh1 ch2kx1??ch2k(sh?1?)??ch(sh?1?kl)?2k2k2k2kshkl22k2kshkl2k ?1(chsh?1khchkl?shsh?1khshkl)?1?1(sh2sh?1kh?1chkl?kh)?1 2kshklshkl2k2kshkl2k2h1(kh2)h ?1[(kh)?1cklh?1?]?[?1(cklh??1?1)?1]222kshkl22kshkl21(kh)21(kh)2h1(kh)2h ??1(chkl?1)?[?1?1]??f?[?1?1]?2ksh2kl2ksh2kl22ksh2kl2
34
T0(ph)2h?f?[?1?1]? （2-3-22）
p4T2sh2pl202T01111?1khl11(kh)2hfB?y2?ch2kx2??ch2k(sh?)??[?1chkl?1]? 22k2k2k2kshkl22k2kshkl21(kh)2hT0(ph)2h?f?[?1?1]??f?[?1?1]? （2-3-23） 22kshkl2p4T2sh2pl202T0需要特别注意的是，在高差角很大时，弧垂最低点在档距以外，甚至两个水平弧垂都大于中点弧垂。在山区有连续倾斜档时就可能出现这种情况。
在校验交叉跨越的垂直距离时，一般是测得交叉跨越点至杆塔的水平距离，如图2-3-1中的la和lb，这时导线在交叉跨越点的弧垂可由图2-3-1推导如下。
由la?lAO?x?l?1sh?1kh?x，得x?la?l?1sh?1kh
22kshkl22kshkl由lb?l?la?l?1sh?1kh?x， 得x?l?lb?1sh?1kh 22kshkl22kshkl2x?la?lb?l?l2?1kh， 1kh
shx?ab?sh?12kshkl22kshklh1h1(kh)2?1khfx?x?ch2kx?sh??1chkl 2l2k2klshkl2kshklla?lb1?1khhla?lb1?1kh1h1(kh)2?1kh?(?sh)?ch2k(?sh)?sh??1chkll22kshkl2k22kshkl2klshkl2ksh2klh(la?lb)h1h1(kh)2?1kh?1kh?1kh??sh?ch[k(la?lb)?sh]?sh??1chkl 22l2klshkl2kshkl2klshkl2kshklh(la?lb)11(kh)2?1kh?1kh??[chk(la?lb)chsh?shk(la?lb)shsh]??1chkl 22l2kshklshkl2kshklh(la?lb)1(kh)2kh1(kh)2??[chk(la?lb)?1?shk(la?lb)]??1chkl
2l2ksh2klshkl2ksh2kl1(kh)2hl?lshk(la?lb)fx??1[chkl?chk(la?lb)]?[ab?]22kshkl2lshklTfx?0p(ph)24T02sh2pl2T0?1[chp(la?lb)hla?lbpl?ch]?[?2T02T02lshp(la?lb)2T0] （2-3-24） plsh2T0
导线的线长。如图2-3-1所示，导线在一个档距内的长度
0L=LAO+LOB
0x1LAO??dL??A1?y'2dx??0x11?sh22kxdx??ch2kxdx?x1001sh2kx
x12k?1khkh111khlchkl?chsh?1shkl] sh2k?0?sh2k(sh?1?)??[shsh?12kshklshkl2k2k2kshkl22 ??1[khchkl?(kh)?1shkl]?1(kh)2?sh2kl?1khchkl
2kshklsh2kl2k2kshklh21h2?（）?（shkl）?chkl
22k2shkl
35
1h22同理 LOB?（h）?（shkl）+chkl
22k2shkl2T11pl2 （2-3-25） 222故得 L?L?L?2（h）?（shkl）?h2?（shkl）?h2?（0sh）AOOB22kkp2T0三、导线的允许档距和允许高差
按我国现行技术规程规定，导线弧垂最低点张力设计安全系数不应小于2.5和最高悬挂点的设计安全系数不应小于2.25，可以得到悬挂点的允许张力Th=Tps/2.25，当安全系数为kc时，Tps =kcT0，由此得Th=Tps /2.25= kcT0/2.25 或ξ= Th /T0= kc/2.25。?称为悬挂点张力允许过载系数。由式（2-3-16）有
Th?T0ch(sh?1kh?kl) （2-3-26） shkl解出h和l并将条件ξ= kc/2.25代入，就得档距一定时的允许高差hM和高差一定时的允许档距lM
TTTT1T11hM?shklsh(ch?1h?kl)?[ch(kl?ch?1h?kl)?ch(kl?ch?1h?kl)]?[h?ch(2kl?ch?1h)]
2kT0T0kT02kT0T0?lM?k1kcTkkpl[?ch(2kl?ch?1c)]?0[c?ch(?ch?1c)] （2-3-27） 2k2.252.25p2.25T02.25kk1Tkkph[ch?1(c?2kh)?ch?1c]?0[ch?1(c?)?ch?1c] （2-3-28） 2k2.252.25p2.25T02.25式中 p—导线的单位荷载，N/m； T0—导线的水平张力，N； T—导线各点的张力，N；
k—导线的计算因数，1/m，k=p/2T0 ； l—档距，m；
la、lb—交叉跨越点至前后杆塔导线悬挂点的水平距离，m； h—悬挂点高差，m； f—档距中点弧垂，m； L—导线的长度，m；
x、y—导线各点的横坐标和纵坐标，m。 四、导线悬挂点等高时的张力弧垂计算
前面就一般情况讨论了导线的张力与弧垂等问题，导线悬挂点等高是其h=0的特殊情况。 在上列各式中代入h=0，就得到这种情况下的下列相应公式。
悬挂点的悬垂角 ??tan?1shkl?tan?1shpl （2-3-29）
2T0任意一点的张力 T?T0ch2kx?T0chpx （2-3-30）
T0悬挂点的张力 TA?TB?T0chkl?T0chpl （2-3-31）
2T0任意一点的弧垂 fx?1(chkl?ch2kx)?T0(chpl?chpx) （2-3-32）
2kp2T0T0T中点弧垂即最大弧垂 f?1(chkl?1?)02kppl ) （2-3-33） (ch? 12T0导线在交叉跨越点的弧垂fx?1[chkl?chk(la?lb)]?T0[chpl?chp(la?lb)] (2-3-34)
2kp2T02T0线长 L?1shkl?2T0shpl （2-3-35）
kp2T0 36