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九年级数学复习分式、一元二次方程、圆、图形的全等、样本与总
体等各章内容华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
复习分式、一元二次方程、圆、图形的全等、样本与总体等各章内容
［教学过程］ 例1. 计算：
22?3?2?(?1?3)2?()2
5311224 解：原式??1??()?
95981444????9259
532??75x2y2 （2）(x?y)22 ?2y?xx?y （1）?1?3x2y2 解：原式?(x?y)2 ?(x?y)(x?y)x?yx2y2??x?yx?yx2?y2 ?x?y?x?y
x?1x?4x2?x?6?)÷2 （3）( x?3xx?3xx(x?1)?(x?3)(x?4)x2?3x 解：原式? 22x(x?3)x?x?6x2?x?(x2?7x?12)x(x?3)?2x(x?3)(x?3)(x?2)6(x?2)x? ?
x(x?3)x?26?x?3
例2. 解方程
x21???0 x2?1x?2x?1 解：x(x?2)?2(x?1)(x?1)?(x?2)(x?1)?0
（1）
x?2x?2x?2?x?3x?2?0
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222亿库教育网 http://www.eku.cc
5x?4?0 4
x??54 经检验：x??是原方程的解
54 ∴原方程的解是x??。
5 （2）3(x?7)2?24
解：(x?7)2?8
x?7?±22x?7±222
∴x1?7?22，x2?7?22 （3）x?4x?2?0 解：x?4x?2 x?4x?4?6
22(x?2)2?6 x?2?±6
x?2±6 ∴x1?2?6，x2?2?6
2 例3. 已知关于x的方程mx?2(3m?1)x?9m?1?0有实数根，求：m的取值范围。 解：m=0时，方程为2x?1?0，x?1 2 m≠0时，若方程有实根，则??0，则： ??[?2(3m?1)]2?4m(9m?1)?0
4(9m2?6m?1)?36m2?4m?0 ?24m?4?4m?01m?51 ∴m?时，方程有实根。
5
222 例4. 已知关于x的方程mx?4x?4?0①和x?4mx?4m?4m?5?0②有整数根，求：整数m的值。
解：∵方程①有整数根，∴方程①有实根 ∴?1?(?4)?16m?0，∴m?1
同理，方程②的判别式大于等于零，即?2?(4m)?4(4m?4m?5)?0 16m?16m?16m?20?0，∴m?? ∴?222225 45?m?1 4亿库教育网 http://www.eku.cc
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∵m是整数，∴m=0，1，－1
∵m=0时，方程②是x?5?0无整数根，∴m=0舍去 m=1时，方程①为x?4x?4?0，有x1?x2?2② 方程②为x2?4x?5?0，有x1?1，x2??5 m??1时，方程①为?x2?4x?4?0无实根，∴m??1舍去 ∴m?1
例5. 如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD的延长线于E，求证：AD=2BE
22
证明：延长AC、BE到M点 ∵BE⊥AE，∠C=90°
∴∠M+∠3=∠1+∠M=90° ∴∠3=∠1
在△ACD和△BCM中
?∠1?∠3? ?AC?CB
?∠ACB?∠BCM? ∴△ACD≌△BCM ∴BM=AD
在△AEM和△AEB中
?∠1?∠2? ?AE?AE
?∠AEM?∠AEB? ∴△AEM≌△AEB ∴BE=EM
∴AD=BM=2BE
例6. 如图，在⊙O的直径AB的延长线上取一点P，自P引PC切⊙O于C，已知PC的长为⊙O的半径的3倍，PB=3，求：图中阴影部分的面积。
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解：连结OC ∵PC是切线 ∴∠PCO=90° ∵PC?3OC PC?3 ∴tan∠1?OC ∴∠1=60°
OC1OC1?，即? OP2OB?PB2OC1?，∴OC?3 ∴OC?321193 ∴S△OCP?OC2PC?33333?222603?2OC2?? S扇形OCB?3602933?? ∴S阴影?S△OCP?S扇形OCB?22 ∴cos∠1?
例7. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
（1）若?C?3，CD=1，求：⊙O的半径
（2）取BE中点F，连DF，判断DF和⊙O的位置关系 解：（1）设半径为R，则
在Rt△BCO中，有BC?OB?OC
222∴(3)2?R2?(1?R)2
3?R2?R2?2R?1 ∴R?1 ∴⊙O的半径为1
（2）连结BD，则∠ADB=90° ∴∠EDB=90° ∵F为EB中点
∴DF=FB，∵DO=OB，OF=OF ∴△ODF≌△OBF ∴∠ODF=90° ∴DF切⊙O于D
例8. 如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，∠POC＝∠PCE，
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（1）求证：PC是⊙O的切线
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径 （3）求sin∠PCA的值 解：（1）∵∠POC=∠PCE
∴∠POC+∠OCE=∠PCE+∠OCE=∠OCP=90° ∵OC是半径，∴PC是⊙O切线 （2）设OE=x，EA=2x，则OA=3x ∴OC?3x，∴sin∠P?sin∠1? ∴
OE1? OC33x1?，∴x?1
3x?63 ∴OA=3，即半径为3
（3）∵∠3+∠OCA=90°，而∠OCA=∠OAC ∴∠3+∠OAC=90°
∵∠2+∠OAC=90°，∴∠3=∠2 ∵AE=2，OE=1，OC=3 ∴CE?
OC2?OE2?22
∴AC?CE2?AE2?8?4?23AE23
∴sin∠3?sin∠2???AC233
例9. （1）如图甲，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于E，求证：CD=CE；
（2）若将图甲中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B'，其他条件不变（如图乙），那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
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